a)

$\Delta ACB$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AB$ là đường kính

$\to CA\bot CB$

$MA,NB$ là hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$

$\to \begin{cases}MA\bot AB\\NB\bot AB\end{cases}$

Xét $\Delta CAI$ và $\Delta CBN$, ta có:

$\widehat{CAI}=\widehat{CBN}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $BC$ )

$\widehat{ACI}=\widehat{BCN}$ ( cùng phụ $\widehat{ICB}$ )

$\to \Delta CAI\sim\Delta CBN\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

b)

Vì $\Delta CAI\sim\Delta CBN\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CI}{CN}$

$\to \dfrac{CA}{CI}=\dfrac{CB}{CN}$

Xét $\Delta ACB$ và $\Delta ICN$, ta có:

$\widehat{ACB}=\widehat{ICN}=90{}^\circ $

$\dfrac{CA}{CI}=\dfrac{CB}{CN}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \Delta ACB\sim\Delta ICN\,\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$

c)

Vì $\Delta ACB\sim\Delta ICN\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \widehat{CBA}=\widehat{CNI}$

Xét $\Delta CBI$ và $\Delta CAM$, ta có:

$\widehat{CBI}=\widehat{CAM}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $AC$ )

$\widehat{BCI}=\widehat{ACM}$ ( cùng phụ $\widehat{ICA}$ )

$\to \Delta CBI\sim\Delta ACM$

$\to \dfrac{CB}{CA}=\dfrac{CI}{CM}$

$\to \dfrac{CB}{CI}=\dfrac{CA}{CM}$

Xét $\Delta ACB$ và $\Delta MCI$, ta có:

$\widehat{ACB}=\widehat{MCI}=90{}^\circ $

$\dfrac{CB}{CI}=\dfrac{CA}{CM}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$

$\to \Delta ACB\sim\Delta MCI\,\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$

$\to \widehat{CAB}=\widehat{CMI}$

Ta vừa mới chứng minh được $2$ kết quả như sau:

$\begin{cases}\widehat{CBA}=\widehat{CNI}\\\\\widehat{CAB}=\widehat{CMI}\end{cases}$

Mà $\widehat{CBA}+\widehat{CAB}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{CNI}+\widehat{CMI}=90{}^\circ $

$\to \Delta MIN$ vuông tại $I$

$\to \widehat{MIN}=90{}^\circ $