a) Ta có:
$AF = FB =\dfrac{1}{2}AB\quad (gt)$
$CE = ED =\dfrac{1}{2}CD\quad (gt)$
$AB = CD \quad (gt)$
$\Rightarrow AF = CE$
Xét tứ giác $AECF$ có:
$AF = CE\quad (cmt)$
$AF//CE\quad (AB//CD)$
Do đó $AECF$ là hình bình hành
b) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$
$\Rightarrow OA = OC;\, OB = OD$
Xét $∆ABC$ có:
$CF$ là trung tuyến
$BO$ là trung tuyến
$CF$ cắt $BO$ tại $H$
$\Rightarrow H$ là trọng tâm
$\Rightarrow OH=\dfrac{1}{3}BO =\dfrac{1}{6}BD;\, BH =\dfrac{2}{3}BO =\dfrac{1}{3}BD$
Chứng minh tương tự với $I$ là trực tâm $∆ACD$ ta được:
$OI =\dfrac{1}{6}BD;\, DI =\dfrac{1}{3}BD$
$\Rightarrow IH =IO + OH =\dfrac{1}{3}BD$
Do đó: $DI = IH = HB$
c) Xét $∆BIE$ có:
$IH = HB$ (câu b)
$HJ//IE\quad (CF//AE)$
$\Rightarrow BJ = JE$
$\Rightarrow HJ$ là đường trung bình
$\Rightarrow HJ =\dfrac{1}{2}IE$
Xét $∆DIC$ có:
$DI = IH$ (câu b)
$CE = ED\quad (gt)$
$\Rightarrow IE$ là đường trung bình
$\Rightarrow IE =\dfrac{1}{2}HC$
Ta được:
$HJ =\dfrac{1}{4}HC$
