Giải thích các bước giải:
1.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)$
$\to AM\perp MB, AE\perp AB$
$\to \widehat{FMK}=\widehat{FEK}=90^o$
$\to EFMK$ nội tiếp đường tròn đường kính $KF$
2.Ta có $AI$ là tiếp tuyến của $(O)\to IA\perp AB$
Mà $AM\perp MB\to AM\perp BI$
$\to IA^2=IM.IB$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
3.Ta có $BE\perp AE\to BE\perp AF$
Do $AF$ là phân giác $\widehat{MAI}, IA$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to \widehat{FBE}=\widehat{MBE}=\widehat{EAM}=\widehat{FAM}=\widehat{AIF}=\widehat{ABE}$
$\to BE$ là phân giác $\widehat{ABF}$
$\to \Delta ABF$ có đường cao đồng thời là phân giác
$\to \Delta ABF$ cân tại $B$
4.Ta có $AF$ là phân giác $\widehat{IAM}\to AE$ là phân giác $\widehat{HAK}$
Mà $AE\perp EB\to AE\perp HK\to \Delta AHK$ cân tại $A\to AH=AK$
Vì $ \Delta ABF$ cân tại $B, BE\perp AF$
$\to BE$ là trung trực của $AF\to HF=HA=AK=KF$
$\to AKFH$ là hình thoi
5.Ta có $AKFH$ là hình thoi
$\to FK//AI$
Để $AKFI$ là nội tiếp
$\to \widehat{HKA}=180^o-\widehat{IFK}=\widehat{FIA}$
$\to \widehat{MAI}=\widehat{MIA}$
$\to \Delta MAI$ vuông cân tại $M$
$\to \widehat{MAI}=45^o$
$\to \widehat{MBA}=\widehat{MAI}=45^o$
$\to \Delta MAB$ vuông cân tại $M$
$\to M$ nằm chính giữa cung $AB$
