Giải thích các bước giải:
Đặt $AB=2c, AC=2b$
Ta có $M,N$ là trung điểm $BA,AC\to AN=\dfrac12AB=c, AM=\dfrac12AC=b$
$\to BM=\sqrt{AB^2+AM^2}=\sqrt{4c^2+b^2}, CN=\sqrt{AN^2+AC^2}=\sqrt{c^2+4b^2}$
Gọi $BM\cap CN=G$
$\to \alpha=\widehat{NGB}$
Ta có:
$\sin\widehat{ABM}=\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{b}{\sqrt{4c^2+b^2}}$
Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$
$\to GN=\dfrac13CN=\dfrac{\sqrt{c^2+4b^2}}{3}$
Ta có:
Áp dụng định lý sin trong $\Delta BGN$
$\to \dfrac{\sin\alpha}{c}=\dfrac{\sin\widehat{NGB}}{BN}=\dfrac{\sin\widehat{NBG}}{GN}$
$\to \dfrac{\sin\alpha}{c}=\dfrac{3b}{\sqrt{(b^2+4c^2)(c^2+4b^2)}}$
$\to \sin\alpha=\dfrac{3bc}{\sqrt{(b^2+4c^2)(c^2+4b^2)}}$
$\to \sin\alpha\le \dfrac{3bc}{\sqrt{(bc+4bc)^2}}$
$\to \sin\alpha\le \dfrac35$
Dấu = xảy ra khi $b=c\to \Delta ABC$ vuông cân tại $ A$
