Xét $674$ số trong $676$ số, trong đó mỗi số này đều khác 2 và 3. Từ đó ta suy ra được $674$ số này đều là số lẻ và đều chia 3 dư 1 hoặc dư 2.
Ta chia 674 số này vào trong hai tập hợp gồm tập A gồm các số nguyên tố chia cho 3 dư 2, tập B chia cho 3 dư 1. Lúc này xét 2 Trường hợp
Trường hợp thứ 1: Nếu 1 trong 2 tập (không mất tính tổng quát, giả sử B) có nhiều hơn 337 số
thì theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 337. Suy ra hiệu của chúng chia hết cho $2.3.337 = 2022$
Trường hợp thứ 2 Nếu cả 2 tập đều có số lượng phần tử là 337 thì ta xét tập A. Vì $337 \notin A$ nên các số trong tập A không chia hết cho 337. Do các số trong tập A chỉ nhận336 số dư khi chia cho 337 nên tồn tại 2 số có cùng dư khi chia cho 337. Hiệu2 số này chia hết cho $2.3.337 = 2022.$
Suy ra điều phải chứng minh.
