Đáp án:
$A\left(\dfrac{1+\sqrt3}{2}; \dfrac{3-7\sqrt3}{2}\right)$ hoặc $A\left(\dfrac{1-\sqrt3}{2}; \dfrac{3+7\sqrt3}{2}\right)$
Giải thích các bước giải:
Gọi $H$ là trung điểm $BC$
$\to H\left(\dfrac12;\dfrac32\right)$
Ta có: $\overrightarrow{BC} = (7;1)$
$\to BC = 5\sqrt2$
Phương trình trung trực của $BC$ có dạng:
$(d):7\left(x -\dfrac12\right) + \left(y -\dfrac32\right) = 0$
$\to (d): 7x + y - 5 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{n}= (1;-7)$ là VTPT của $(BC)$
Phương trình đường thẳng $BC$ có dạng:
$(BC): x + 3 - 7(y -1) = 0$
$\to (BC): x - 7y + 10 = 0$
Gọi $A(a;-7a+5)\in (d)$
$∆ABC$ đều $\Leftrightarrow d(A;BC)= \dfrac{BC\sqrt3}{2}$
$\to \dfrac{|a - 7(-7a + 5) + 10|}{\sqrt{1^2 + (-7)^2}}= \dfrac{5\sqrt6}{2}$
$\to |50a - 25| = 25\sqrt3$
$\to |2a -1| =\sqrt3$
$\to \left[\begin{array}{l}2a - 1 =\sqrt3\\2a - 1 = -\sqrt3\end{array}\right.$
$\to \left[\begin{array}{l}a = \dfrac{1+\sqrt3}{2}\\a =\dfrac{1 -\sqrt3}{2}\end{array}\right.$
Vậy $A\left(\dfrac{1+\sqrt3}{2}; \dfrac{3-7\sqrt3}{2}\right)$ hoặc $A\left(\dfrac{1-\sqrt3}{2}; \dfrac{3+7\sqrt3}{2}\right)$
