Giải thích các bước giải:
1.Ta có $H$ là trực tâm $\Delta ABC\to BH\perp AC, CH\perp AB$
$\to BH//CD, CH//BD$
$\to BDCH$ là hình bình hành
2.Ta có $BD\perp AB, CD\perp AC$
$\to \Delta ABD,\Delta ACD$ vuông tại $B, C$
3.Để $BHCD$ là hình thoi
$\to HB=HC$
$\to H\in$ trung trực của $BC$
Mà $AH\perp BC\to AH$ là trung trực của $BC\to AB=AC$
$\to\Delta ABC$ cân tại $A$
4.Để $BHCD$ là hình vuông
$\to BHCD$ là hình thoi và $BD\perp DC$
$\to \Delta ABC$ cân tại $A$
Mặt khác $AB\perp DB, DB\perp DC, DC\perp AC\to ABDC$ là hình chữ nhật
$\to AB\perp AC$
$\to\Delta ABC$ vuông cân tại A$
5.Ta có:
$\widehat{BAC}+\widehat{BDC}=360^o-\widehat{ABD}-\widehat{ACD}=360^o-90^o-90^o=180^o$
6.Ta có $BHCD$ là hình bình hành
$\to HD\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường
Mà $M$ là trung điểm $BC$
$\to M$ là trung điểm $HD$
$\to H, M, D$ thẳng hàng
7.Ta có $O, M$ là trung điểm $AD, HD$
$\to OM$ là đường trung bình $\Delta AHD$
$\to AH=2OM$
$\to \dfrac{AH}{OM}=2$
8.Ta có $\Delta ABD$ vuông tại $B, O$ là trung điểm $AD$
$\to OA=OB=OD$
Tương tự $OC=OA=OD$
$\to OB=OC(=OA)$
9.Ta có $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$
$\to \dfrac{AG}{AM}=\dfrac23$
Mà $M$ là trung điểm $HD\to AM$ là trung tuyến $\Delta ADH$
$\to G$ là trọng tâm $\Delta AHD$
Do $O$ là trung điểm $AD\to H, G, O$ thẳng hàng
10.Ta có $H, K$ đối xứng qua $BC$
Gị $HK\cap BC=E\to E$ là trung điểm $HK$
Mà $M$ là trung điểm $HD\to EM$ là đường trung bình $\Delta HDK$
$\to EM//DK$
$\to DK//BC$
$\to BCDK$ là hình thang
Lại có $H, K$ đối xứng qua $BC$ và $BHCD$ là hình bình hành
$\to CK=CH=BD$
$\to BCDK$ là hình thang cân
