Đặt $AB=c, BC=a, CA=b$
Ta có $\Delta ACM$ cân tại A. $ \Rightarrow AC = AM = \dfrac{1}{2}AB \Rightarrow c = 2b$
Theo đề bài ta có AL là phân giác trong của góc A nên $\overrightarrow {AL} = \dfrac{b}{{b + c}}\overrightarrow {AB} + \dfrac{c}{{c + b}}\overrightarrow {AC} = \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AC} } \right)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow A{L^2} = \dfrac{4}{9}\left( {A{M^2} + A{C^2} + 2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} } \right)\\ = \dfrac{4}{9}\left( {2{b^2} + 2{b^2}\cos A} \right) = \dfrac{8}{9}{b^2}\left( {1 + 1.\cos A} \right)\\ 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AM} = A{C^2} + A{M^2} - C{M^2}\\ \Rightarrow 2{b^2}\cos A = 2{b^2} - C{M^2} \Rightarrow C{M^2} = 2{b^2}\left( {1 - \cos A} \right)\\ + CM = kAL \Rightarrow 2{b^2}\left( {1 - \cos A} \right) = {k^2}.\dfrac{8}{9}{b^2}\left( {1 + \cos A} \right)\\ \Leftrightarrow 9\left( {1 - \cos A} \right) = 4{k^2}\left( {1 + \cos A} \right)\\ \Leftrightarrow \cos A = \dfrac{{9 - 4{k^2}}}{{9 + 4{k^2}}}\\ \Rightarrow a + b + c + d = 9 - 4 + 9 - 4 = 18 \to D \end{array}$
