`a)` Gọi $H;K$ lần lượt là trung điểm $AB;CD$
`=>AH={AB}/2={R\sqrt{2}}/2; CK={CD}/2={R\sqrt{3}}/2`
$\\$
Vì $OA=OB=R$
`=>∆OAB` cân tại $O$
`=>OH` vừa là trung tuyến và đường cao $∆OAB$
`=>∆OAH` vuông tại $H$
`=>OH^2+AH^2=OA^2` (định lý Pytago)
`=>OH^2=OA^2-AH^2=R^2-({R\sqrt{2}}/2)^2=R^2-{R^2}/2={R^2}/2`
`=>OH=R/\sqrt{2}`
`=>S_{∆OAB}=1/ 2 OH.AB`
`=1/ 2 . R/\sqrt{2} .R\sqrt{2}={R^2}/2`
$\\$
Vì $OC=OD=R$
`=>∆OCD` cân tại $O$
`=>OK` vừa là trung tuyến và đường cao $∆OCD$
`=>∆OCK` vuông tại $K$
`=>OK^2+CK^2=OC^2` (định lý Pytago)
`=>OK^2=OC^2-CK^2=R^2-({R\sqrt{3}}/2)^2=R^2-{3R^2}/4={R^2}/4`
`=>OK=R/2`
`=>S_{∆OCD}=1/2 OK.CD`
`=1/ 2 . R/2 .R\sqrt{3}={R^2\sqrt{3}}/4`
$\\$
Vì `2=\sqrt{4}>\sqrt{3}`
`=>2/4>{\sqrt{3}}/4`
`=>1/2>\sqrt{3}/4`
`=>{R^2}/2>{R^2\sqrt{3}}/4`
`=>S _{∆OAB}>S_{∆OCD}`
$\\$
`b)` `AB<CD=>AB<R\sqrt{3}`
Đặt `AB=2x=>AH={AB}/2=x`
`\qquad (0<x<{R\sqrt{3}}/2)`
$\\$
Để `S_{∆OAB}=S_{∆OCD}`
`=>1/ 2 OH.AB={R^2\sqrt{3}}/4`
`=>OH.AB={R^2\sqrt{3}}/2`
`=>OH={R^2 \sqrt{3}}/{2AB}`
`={R^2\sqrt{3}}/{2.2x}={R^2\sqrt{3}}/{4x}`
$\\$
Xét $∆OAH$ vuông tại $H$
`=>OH^2+AH^2=OA^2` (định lý Pytago)
`=>({R^2 \sqrt{3}}/{4x})^2+x^2=R^2`
`=>{3R^4}/{16x^2}+x^2=R^2`
`=>3R^4+16x^4=16R^2x^2`
`=>16x^4-16R^2x^2+3R^4=0`
`=>16x^4-4R^2 x^2-12R^2 x^2+3R^4=0`
`=>4x^2 (4x^2-R^2)-3R^2(4x^2-R^2)=0`
`=>(4x^2-R^2)(4x^2-3R^2)=0`
`=>`$\left[\begin{array}{l}4x^2-R^2=0\\4x^2-3R^2=0\end{array}\right.$`=>`$\left[\begin{array}{l}x^2=\dfrac{R^2}{4}\\x^2=\dfrac{3R^2}{4}\end{array}\right.$
`=>`$\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{R}{2}\ (thỏa\ mãn)\\x=\dfrac{-R}{2}\ (loại)\\x=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\ (loại)\\x=\dfrac{-R\sqrt{3}}{2}\ (loại)\end{array}\right.$
`=>x=R/2`
`=>AB=2x=2. R/2 =R` (thỏa mãn)
Vậy `AB=R` thì `S_{∆OAB}=S_{∆OCD}`
$\\$
