Áp dụng công thức hạ bậc ta có
$I = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1 + \cos(2x)}{\cos(2x)}dx$
Do đó
$2I = \int \left( \dfrac{1}{\cos(2x)} + 1 \right) dx$
$= x + \int \dfrac{dx}{\cos(2x)}$
Ta sẽ tính
$S = \int \dfrac{dx}{\cos(2x)}$
$= \int \dfrac{\cos(2x)dx}{\cos^2(2x)}$
$= \dfrac{1}{2} \int \dfrac{d(\sin(2x))}{1 - \sin^2(2x)}$
Đặt $u = \sin(2x)$. Khi đó
$2S = \int \dfrac{du}{(1-u)(1+u)}$
$= \dfrac{1}{2} \int \left( \dfrac{1}{1 - u} + \dfrac{1}{1+u} \right) du$
$= \dfrac{1}{2} (\ln|1-u| + \ln|1+u|) + c$
Do đó
$S = \dfrac{1}{4} (\ln[1-\sin(2x)] + \ln[1+\sin(2x)] + c$
Vậy
$I = \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{8} (\ln[1-\sin(2x)] + \ln[1+\sin(2x)] + c$
