Nối PC.
Ký hiệu $d(A, a)$ là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng a.
Ví dụ:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} BC . d(A, BC) = \dfrac{1}{2} . CA . d(B, CA) = \dfrac{1}{2} AB . d(C, AB)$
Ta có
$S_{EFC} = \dfrac{1}{2} FC . d(E, AC) = \dfrac{1}{2} . \dfrac{2}{3} . AC . \dfrac{1}{2} d(B, AC) = \dfrac{1}{6} AC . d(B, AC) = \dfrac{1}{3} S_{ABC}$
Tương tự, ta có
$S_{PFC} = \dfrac{1}{2} CF . d(P, CF) = \dfrac{1}{2} . 2AF . d(P, AF) = 2 S_{PAF} = 2.90 = 180 (cm^2)$
Do $S_{ABC} = S_{FEC} + S{AFEB} = \dfrac{1}{3} S_{ABC} + S_{AFEB}$
Vậy $S_{AFEB} = \dfrac{2}{3} S_{ABC}$
Ta có
$S_{PEC} = \dfrac{1}{2} EC . d(P, EC) = \dfrac{1}{2} . BE . d(P, EB) = S_{PEB}$
Lại có $S_{PEC} = S_{PFC} + S_{FEC}, S_{PEB} = S_{PAF} + S_{AFEB}$
Vậy ta có
$S_{PFC} + S_{FEC} = S_{PAF} + S_{AFEB}$
$<-> 180 + \dfrac{1}{3} S_{ABC} = 90 + \dfrac{2}{3} S_{ABC}$
$<-> 90 = \dfrac{1}{3} S_{ABC}$
$<-> S_{ABC} = 270 (cm^2)$
Vậy diện tích tam giác ABC là 270 $(cm^2)$.
