a)
Xét $\Delta ABT$ và $\Delta ATC$, ta có:
$\widehat{TAC}$ là góc chung
$\widehat{ATB}=\widehat{ACT}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $TB$ )
$\to \Delta ABT\sim \Delta ATC$
$\to \dfrac{AB}{AT}=\dfrac{AT}{AC}$
$\to A{{T}^{2}}=AB.AC$
b)
$AT$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $\widehat{ATO}=90{}^\circ $
Xét $\Delta ATO$ vuông tại $T$, có $TH$ là đường cao nên:
$A{{T}^{2}}=AH.AO$ ( hệ thức lượng )
Mà $A{{T}^{2}}=AB.AC$ ( chứng minh trên )
Vậy $AB.AC=AH.AO$
c)
Vì $AB.AC=AH.AO$ ( chứng minh trên )
Nên $\dfrac{AB}{AO}=\dfrac{AH}{AC}$
Xét $\Delta ABH$ và $\Delta AOC$, ta có:
$\widehat{CAO}$ là góc chung
$\dfrac{AB}{AO}=\dfrac{AH}{AC}$ ( chứng minh trên )
$\to \Delta ABH\sim \Delta AOC$
$\to \widehat{AHB}=\widehat{ACO}$
Xét tứ giác $OHBC$, ta có:
$\widehat{AHB}=\widehat{ACO}$ ( chứng minh trên )
Nên tứ giác $OHBC$ là tứ giác nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )
