Áp dụng BĐT $Cauchy-schwars$
`P=x^6/\sqrt(y^3+1)+y^6/\sqrt(z^3+1)+z^6/\sqrt(x^3+1)`
`P\ge (x^3+y^3+z^3)^2/(\sqrt(y^3+1)+\sqrt(z^3+1)+\sqrt(x^3+1))`
`P\ge (x^3+y^3+z^3)^2/\sqrt[3(x^3+y^3+z^3+3)]`
Ta có: $\begin{cases}x^3+x^3+8\ge 6x^2\\y^3+y^3+8\ge 6y^2\\z^3+z^3+8\ge 6z^2\end{cases}$
`⇔2(x^3+y^3+z^3)+24\ge 6(x^2+z^2+z^2)`
`⇔t=x^3+y^3+z^3\ge 3(x^2+y^2+z^2)-12\ge 36-12=24`
Xét hàm số `f(t)=t^2/\sqrt(3t+9)` đồng biến trên `RR` với `∀t\ge 24`
`⇔P=f(t)\ge f(24)=64`
Dấu `=` xảy ra `⇔x=y=z=2`
Vậy $Min_P=64⇔x=y=z=2$
