Đáp án: $f²(1) = 8$
Giải thích các bước giải:
$ [f'(x)]² + f(x).f"(x) = 15x^{4} + 12x$
$ ⇔ (f(x).f'(x))' = 15x^{4} + 12x$
$ ⇔ ∫(f(x).f'(x))'dx = ∫(15x^{4} + 12x)dx$
$ ⇔ f(x).f'(x) = 3x^{5} + 6x² + C_{1}$
$ ⇒ f(0).f'(0) = 3.0^{5} +6.0² + C_{1}$
$ ⇒ C_{1} = f(0).f'(0) = 1.1 = 1$
$ ⇒ f(x).f'(x) = 3x^{5} + 6x² + 1$
$ ⇔ 2f(x).f'(x) = 6x^{5} + 12x² + 2$
$ ⇔ [f²(x)]' = 6x^{5} + 12x² + 2$
$ ⇔ ∫[f²(x)]'dx = ∫(6x^{5} + 12x² + 2)dx$
$ ⇔ f²(x) = x^{6} + 4x³ + 2x + C_{2}$
$ ⇒ f²(0) = 0^{6} + 4.0³ + 2.0 + C_{2} $
$ ⇒ C_{2} = f²(0) = 1² = 1$
$ ⇒ f²(x) = x^{6} + 4x³ + 2x + 1$
$ ⇒ f²(1) = 1^{6} + 4.1³ + 2.1 + 1 = 8$
