Đáp án:
Đặt: b+c+d=x.
Khi đó: a+2b+3c+4d$\leq$ a+3x
Áp dụng BĐT AM-GM mở rộng, ta có:
$a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$+$d^{2}$$\geq$$a^{2}$$b^{2}$$c^{2}$$d^{2}$
Với a$\geq$b$\geq$c$\geq$d thì:
$a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$+$d^{2}$$\leq$$a^{2}$+ax
và: (a+3x)($a^{2}$+ax)$\leq$$(a+x)^{3}$
<=> x(a+x)(x-a)$\geq$0 (1)
Đồng thời: $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$+$d^{2}$$\leq$ $a^{2}$+$x^{2}$
và: (a+3x)($a^{2}$+$x^{2}$)$\leq$$(a+x)^{3}$
<=> 2a$x^{2}$(a-x)$\geq$0 (2)
Do (a-x)+(x-a)=0 nên a-x và x-a sẽ có 1 số không âm
=> (1) và (2) sẽ có 1 BĐT đúng
=> đpcm
