a, Có M là trung điểm của AC (gt) ⇒$AM=MC=\frac{1}{2}AC$
N là trung điểm của AB (gt) ⇒$AN=NB=\frac{1}{2}AB$
Mà AB=AC (ΔABC cân tại A)
⇒ AM=MC=AN=NB
Xét ΔAMB và ΔANC có:
AB=AC (cmt)
$\widehat{BAC}$ : góc chung
AM=AN (cmt)
⇒ ΔAMB=ΔANC (c.g.c)
⇒ MB=NC (các cạnh tương ứng)
$\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (các góc tương ứng)
b, Có: $\widehat{ABC}=\widehat{ABM}+\widehat{MBC}$
$\widehat{ACB}=\widehat{ACN}+\widehat{NCB}$
Mà $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (cmt), $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (ΔABC cân tại A)
⇒ $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ Hay $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$
Xét ΔIBC có: $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$ (cmt)
⇒ ΔIBC cân tại I
c, Gọi giao điểm của AI và BC là H
ΔIBC cân tại I (cmt) ⇒ IB=IC
Xét ΔAIB và ΔAIC có:
AB=AC (cmt)
AI: cạnh chung
IB=IC (cmt)
⇒ ΔAIB=ΔAIC (c.c.c)
⇒ $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ Hay $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$
Xét ΔABH và ΔACH có:
AB=AC (cmt)
$\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (cmt)
AH: cạnh chung
⇒ ΔABH=ΔACH (c.g.c)
⇒ $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$
Mà $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180°$
⇒ $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\frac{180°}{2}=90°$
⇒ AH⊥BC
⇒ AI⊥BC tại H
