$\lim\limits_{x\to -\infty}(x+\sqrt{x^2+x+6})$
$=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x^2-(x^2+x+6) }{x-\sqrt{x^2+x+6})}$
$=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{-x-6}{x+x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}}}$
$=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{-1-\dfrac{6}{x}}{1+\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}}}$
$=\dfrac{-1}{1+1}$
$=\dfrac{-1}{2}$