Đáp án:
`f(x)=1/ 2 x^2+1/ 2 x+c` `(c\in RR` bất kỳ)
`S=1+2+3+...+n={n(n+1)}/2`
Giải thích các bước giải:
Vì `f(x)` là đa thức bậc hai
`=>f(x)=ax^2+bx+c` `(a;b;c\in RR; a\ne 0)`
`=>f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)+c`
`=>f(x-1)=a(x-1)(x-1)+b(x-1)+c`
`=>f(x-1)=a(x^2-x-x+1)+bx-b+c`
`=>f(x-1)=ax^2-2ax+a+bx-b+c`
`=>f(x-1)=ax^2+(b-2a)x+a-b+c`
Theo đề bài:
`\qquad f(x)-f(x-1)=x`
`<=>(ax^2+bx+c)-[ax^2+(b-2a)x+a-b+c]=x`
`<=>2ax-a+b=x`
`<=>`$\begin{cases}2a=1\\-a+b=0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}a=\dfrac{1}{2}\\b=a=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
Vậy `f(x)=1/ 2 x^2+1/ 2 x+c` `(c\in RR` bất kỳ)
$\\$
Với `x=n` ta có: `f(n)=1/ 2 n^2+1/ 2 n+c`
Với `x=0` ta có: `f(0)=1/ 2 .0^2+1/ 2 .0+c=0`
$\\$
Vì `x=f(x)-f(x-1)` nên ta có:
+) `x=1=>1=f(1)-f(0)`
+) `x=2=>2=f(2)-f(1)`
+) `x=3=>3=f(3)-f(2)`
……
+) `x=n-1=>n-1=f(n-1)-f(n-2)`
+) `x=n=>n=f(n)-f(n-1)`
`=>S=1+2+3+...+(n-1)+n=f(1)-f(0)+f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+…+f(n-1)-f(n-2)+f(n)-f(n-1)`
`=>S=f(n)-f(0)`
`=>S=(1/ 2 n^2+1/ 2 n+c)-c=(n^2+n)/2`
`=>S={n(n+1)}/2`
Vậy `f(x)=1/ 2 x^2+1/ 2 x+c` `(c\in RR` bất kỳ)
`\qquad S=1+2+3+...+n={n(n+1)}/2`
