`a,` Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ `,AH\botBC` $(gt)$ có:
`AB^2=BH.BC`
Hay `12^2=BH.20`
`⇔144=BH.20`
`⇔BH=7,2` `(cm)`
Áp dụng định lý Pytago trong `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$có:
`BC^2=AB^2+AC^2`
Hay `20^2=12^2+AC^2`
`⇔AC^2=20^2-12^2`
`⇔AC^2=400-144=256`
`⇒AC=16` `(cm)` `\text{(vì}` `AC>0)`
`b,` `AH\botBC` $(gt)$ `⇒\hat{AHB}=\hat{AHC}=90^o`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHB` vuông tại `H` `(\hat{AHB}=90^o)` `,HM\botAB` $(gt)$ có: `AH^2=AM.AB`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHC` vuông tại `H` `(\hat{AHC}=90^o)` `,HN\botAC` $(gt)$ có: `AH^2=AN.AC`
`⇒AM.AB=AN.AC`
`c,AM.AB=AN.AC` `(cmt)`
`⇒{AN}/{AB}={AM}/{AC}`
Xét `ΔANM` và `ΔABC` có:
`{AN}/{AB}={AM}/{AC}` `(cmt)`
`\hat{BAC}`: góc chung
`⇒ΔANM`$\backsim$`ΔABC` `(c.g.c)`
`d,` Gọi giao điểm của `AO` và `MN` là `I`
Xét `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ có:
`AO` là trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC` (`O` là trung điểm của `BC`)
`⇒AO=OB=OC=1/2BC`
Xét `ΔAOC` có: `OA=OC` `(cmt)`
`⇒ΔAOC` cân tại `O`
`⇒\hat{OAC}=\hat{OCA}` Hay `\hat{IAN}=\hat{ACB}`
`ΔANM`$\backsim$`ΔABC` `(cmt)`
`⇒\hat{ANM}=\hat{ABC}` (hai góc tương ứng)
Hay `\hat{ANI}=\hat{ABC}`
Xét `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ có:
`\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^o` (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Mà `\hat{IAN}=\hat{ACB}` `(cmt)` `,\hat{ANI}=\hat{ABC}` `(cmt)`
`⇒\hat{ANI}+\hat{IAN}=90^o`
Xét `ΔANI` có: `\hat{ANI}+\hat{IAN}=90^o` `(cmt)`
`⇒ΔANI` vuông tại `I`
`⇒AO\botMN` tại `I`
