`a)`

Xét `2Δ` vuông `ABK` và `IBK` có:

         `hat{B_1}=hat{B_2}(g``t)`

               `BK:chung`

`⇒ΔABK=ΔIBK(` cạnh huyền-góc nhọn `)(đpcm)`

`⇒KA=KI(2` cạnh tương ứng `)(đpcm)`

`b)`

Áp dụng định lý Py-ta-go vào `Δ` vuông `ABC` ta có:

                      `BC²=AB²+AC²`

                      `BC²=6²+8²`

                      `BC²=36+64`

                      `BC²=100`

                      `BC=`$\sqrt[]{100}$ 

                      `BC=10(cm)`

Vậy `BC=10cm`

`c)`

Ta có:`AD⊥BC(g``t)`

         `KI⊥BC(g``t)`

`⇒AD////KI(` từ `⊥` đến `////)`

Mà `H∈AD`

`⇒HD////KI`

`⇒hat{H_1}=hat{K_2}(2` góc đồng vị `)`

Mà `hat{H_1}=hat{H_2}(2` góc đối đỉnh `)`

`⇒hat{K_2}=hat{H_2}(1)`

Theo câu `a)ΔABK=ΔIBK(` cạnh huyền-góc nhọn `)`
`⇒hat{K_1}=hat{K_2}(2` góc tương ứng `)(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒hat{H_2}=hat{K_1}`

                      `⇒ΔAHK` cân tại `A(đpcm)`

`d)`

Xét `ΔKIC` vuông tại `I`.Theo nhận xét về cạnh lớn nhất trong `Δ` vuông ta có:

                                                `KI<CK`

Mà `KA=KI(cmt)`

`⇒KA<CK(đpcm)`

`e)`

Theo câu `a)ΔABK=ΔIBK(` cạnh huyền-góc nhọn `)`
`⇒AB=IB(2` cạnh tương ứng `)`

Xét `ΔABH` và `ΔIBH` có:

       `AB=IB(g``t)`

       `hat{B_1}=hat{B_2}(g``t)`

       `BH:chung`

`⇒ΔABH=IBH(c.g.c)`

`⇒hat{AHB}=hat{IHB}(2` góc tương ứng `)`

Mà `hat{AHB}+hat{H_2}=180^o(2` góc kề bù `)`

      `hat{IHB}+hat{H_3}=180^o(2` góc kề bù `)`

`⇒hat{H_2}=hat{H_3}`

Mà `hat{H_2}=hat{K_2}(cmt)`

`⇒hat{H_3}=hat{K_2}`

`⇒ΔHIK` cân tại `I`

`⇒HI=KI(` tính chất `Δ` cân `)`

Vì `ΔAHK` cân tại `A`

`⇒AH=AK(` tính chất `Δ` cân `)`

Ta có:`AM=AH+HM`

         `AC=AK+KC`

Mà `AM=AC(g``t)`

      `AH=AK(cmt)`

`⇒HM=KC`

Ta có:`hat{H_2}+hat{H_3}+hat{H_4}=180^o(g``t)`

         `hat{K_1}+hat{K_2}+hat{K_3}=180^o(g``t)`

Mà `hat{H_2}=hat{K_1}(cmt)`

      `hat{H_3}=hat{K_2}(cmt)`

`⇒hat{H_4}=hat{K_3}`

Xét `ΔHIM` và `ΔKIC` có:

        `HM=KC(cmt)`

        `hat{H_4}=hat{K_3}(cmt)`

        `HI=KI(cmt)`

`⇒ΔHIM=ΔKIC(c.g.c)`

`⇒hat{HIM}=hat{KIC}(2` góc tương ứng `)`

Mà `hat{KIC}=90^o`

`⇒hat{HIM}=90^o`

`⇒IM⊥IH(đpcm)`

$\\$

`a,`

Xét `ΔABK` và `ΔIBK` có :

`hat{BAK}=hat{BIK}=90^o` (gt)

`BK` chung

`hat{ABK}=hat{IBK}` (gt)

`-> ΔABK = ΔIBK` (cạnh huyền - góc nhọn)

$\\$

`b,`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :

`AB^2 + AC^2 =BC^2` (Pitago)

`-> BC^2 = 6^2 + 8^2`

`-> BC^2 = 10^2`

`-> BC=10cm`

$\\$

`c,`

Có : `AD⊥BC` (gt)

Có : `KI⊥BC` (gt)

$→ AD//KI$

`-> hat{AHK}=hat{BKI}` (2 góc so le trong)

Do `ΔABK = ΔIBK` (cmt)

`-> hat{BKA}=hat{BKI}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{AKH}=hat{BKI}`

mà `hat{AHK}=hat{BKI}` (cmt)

`-> hat{AKH}=hat{AHK} (=hat{BKI})`

`-> ΔAHK` cân tại `A`

$\\$

`d,`

Do `ΔABK = ΔIBK` (cmt)

`-> AK=IK` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔKIC` có :

`hat{KIC}=90^o` (gt)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`CK` là cạnh lớn nhất

`-> KI < CK`

mà `AK=IK` (cmt)

`-> AK < CK`

$\\$

`e,`

Do `ΔABK = ΔIBK` (cmt)

`-> AB=IB` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔABI` cân tại `B`

`-> hat{BIA}=hat{BAI}`

Có : `hat{MAI}+hat{BIA}=90^o` (Do `AD` là đường cao)

Có : `hat{CAI}+hat{BAI}=90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `A`)

mà `hat{BIA}=hat{BAI}` (cmt)

`-> hat{MAI}=hat{CAI}`

Xét `ΔAIM` và `ΔAIC` có :

`AI` chung

`AM=AC` (gt)

`hat{MAI}=hat{CAI}` (cmt)

`-> ΔAIM = ΔAIC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> MI=CI` (2 cạnh tương ứng)

và `hat{AMI}=hat{ACI}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{HMI}=hat{KCI}`

Có : `AH + HM = AM`

Có : `AK + KC = AC`

mà `AH=AK` (Do `ΔAHK` cân tại `A`) và `AM=AC` (gt)

`-> HM=KC`

Xét `ΔHMI` và `ΔKCI` có :

`hat{HMI}=hat{KCI}` (cmt)

`MI=CI` (cmt)

`HM=KC` (cmt)

`-> ΔHMI = ΔKCI` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{MIH}=hat{CIK}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{CIK}=90^o` (gt)

`-> hat{MIH}=90^o`

hay `IM⊥IH`