`a)` ` +)`  Ta có:  `\vec{AH} = 2\vec{AG} - \vec{AB}`                                                                       

                                   `= 2. 2/3\vec{AM} -\vec{AB}`                                      

                                   `= 2. 2/3(1/2\vec{AB}+ 1/2\vec{AC}) - \vec{AB}`                                      

                                   `= 2/3\vec{AB} + 2/3 \vec{AC} - \vec{AB}`                                      

                                   `= -1/3\vec{AB} + 2/3 \vec{AC}` (đpcm) 

`+)\vec{CH} = \vec{CA} + \vec{AH}` 

             `= -\vec{AC} -1/3\vec{AB}+ 2/3\vec{AC}`                                            

             `= -1/3\vec{AC} - 1/3\vec{AB} `

             `= -1/3(\vec{AC} +\vec{AB})` (đpcm)      

`b)\vec{MH} = \vec{MC} + \vec{CH}`                                                                    

               `=1/2\vec{BC} +\vec{CH}`                                      

               `=1/2\vec{BA} + 1/2\vec{AC} - 1/3\vec{AB}- 1/3\vec{AC}`                                      

               `= -5/6\vec{AB} + 1/6\vec{AC} ` (đpcm)                                                                

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 M là trung điểm BC ⇒ $\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AM}$

$\vec{AM} = \frac{1}{2}×( \vec{AB} + \vec{AC} )$

a. Ta có $\vec{AH} = \vec{AB} + \vec{BH}$

⇔ $\vec{AH} = \vec{AB} + 2\vec{BG}$ ( do BG = GH )

⇔ $\vec{AH} = \vec{AB} + 2×( \vec{AG} - \vec{AB} )$

⇔ $\vec{AH} = - \vec{AB} + \frac{4}{3}\vec{AM}$

⇔ $\vec{AH} = - \vec{AB} + \frac{4}{3}×\frac{1}{2}×( \vec{AB} + \vec{AC} )$

⇔ $\vec{AH} = \frac{2}{3}\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{AB}$ ( đpcm )

$\vec{CH} = \vec{AH} = \vec{AC}$

⇔ $\vec{CH} = \frac{2}{3}\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{AB} - \vec{AC}$

⇔ $\vec{CH} = \frac{-1}{3}×( \vec{AB} + \vec{AC} )$

b. Ta có $\vec{MH} = \vec{AH} - \vec{AM}$

⇔ $\vec{MH} = \frac{2}{3}\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{AB} - \frac{1}{2}×( \vec{AB} + \vec{AC} )$

⇔ $\vec{MH} = \frac{1}{6}\vec{AC} - \frac{5}{6}\vec{AB}$ ( đpcm )