a) Xét Δ ABC có:
+, M là trđ của AB
+, N là trđ của AC
⇒ MN là đường trung bình của Δ ABC
⇒ MN // BC (dpcm)
Từ đó cho biết tứ giác MNCB là hình thang.
b) Có đường thẳng đi qua C cắt MN tại E và // AB (*)
⇒ CE // AB (*)
⇒ CE // AM
⇒ ∠ ECN = ∠ MAN
Xét Δ AMN và Δ CEN:
+, ∠ ECN = ∠ MAN (cmt)
+, AN = NC (N là trđ của AC)
+, ∠ ANM = ∠ CNE (đđ)
⇒ Δ AMN = Δ CEN (g.c.g)
⇒ AM = AN (2 góc t/ứ)
MÀ AM // AN
⇒ Tứ giác AMCE là hình bình hành.
(*) có nghĩa là không nhất thiết phải ghi.
c) Gọi giao điểm của BE và MC là K
Có CE // AB
⇒ CE // BM
⇒ ∠ BMC = ∠ ECM hay ∠ BMK = ∠ ECK
∠ MBE = ∠ CEB hay ∠ MBK = ∠ CEK
Có CE = AM (cmt)
Mà AM = BM (M là trđ của AB)
⇒ CE = BM
Xét Δ BMK và Δ ECK có:
+, ∠ BMK = ∠ ECK (cmt)
+, CE = BM (cmt)
+, ∠ MBK = ∠ CEK (cmt)
⇒ Δ BMK = Δ ECK (g.c.g)
⇒ MK = CK (2 cạnh tương ứng)
⇒ K là trđ của MC
Xét Δ MCE có:
N là trđ của ME (Δ AMN = Δ CEN) ⇒ CN là đường trung tuyến của Δ MCE
K là trđ của MC (cmt) ⇒ CK là đường trung tuyến của Δ MCE
Mà H là gđ của hai đường trung tuyến trên
⇒ H là trọng tâm của Δ MCE
⇒ HC = 2/3 NC
Mà NC = 1/2 AC
⇒ HC = 1/3 AC
Có AH = AC - HC
⇒ AH = AC - 1/3 HC
⇒ AH = 2/3 AC
mà HC = 1/3 AC
⇒ AH = 2HC (dpcm)
