a) $\textrm{ΔABC vuông tại A}$
⇒ $BC^{2} = AC^{2} + AB^{2} $ $\textrm{(ĐL Pytago)}$
Hay $BC^{2} = 8^{2} + 6^{2}$
⇒ $BC^{2} = 100$
⇒ $BC = 10 (cm)$$\textrm{(Vì BC > 0)}$
$\textrm{ΔABC có:}$
$\textrm{AD là đường phân giác}$
$\textrm{D ∈ BC}$
⇒ $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ $\textrm{(T/c tia phân giác của Δ)}$
Hay $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{6}{8}$
⇒ $\dfrac{DB}{6} = \dfrac{DC}{8}$
$\textrm{Áp dụng t/c của dãy TSBN ta có:}$
$\dfrac{DB}{6} = \dfrac{DC}{8} = \dfrac{DB + DC}{6+8} = \dfrac{BC}{14} = \dfrac{10}{14} = \dfrac{5}{7}$
⇒ $DC = \dfrac{5}{7} \times 8 = \dfrac{40}{7} (cm)$
⇒ $DB = \dfrac{5}{7} \times 6 = \dfrac{30}{7} (cm)^{(1)}$
b) $\textrm{ΔDEC và ΔABC có:}$
$\widehat{CDE} = \widehat{BAC} = 90^{o}$ $\textrm{(Vì ΔABC vuông tại A, DE ⊥ AC)}$
$\widehat{C} \textrm{là góc chung}$
⇒ $ΔDEC \backsim ΔABC (g.g)$
⇒ $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{DC}{AC}$$\textrm{(Cặp cạnh tương ứng)}$
c) Ta có: $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{DC}{AC}$
Hay $\dfrac{DE}{6} = \dfrac{\frac{40}{7}}{8}$
⇒ $\dfrac{DE}{6} = \dfrac{5}{7}$
⇒ $DE = \dfrac{5}{7} \times 6 = \dfrac{30}{7}(cm)^{(2)}$
$\textrm{Từ (1) và (2) ⇒}$ $DE = BD (=\dfrac{30}{7}cm)$
⇒ $\textrm{ΔDBE cân tại D (đ/n)}$
