Đáp án + Giải thích các bước giải:
`x^2-2(m-1)x-m-3=0` `(1)`
`1)` Thay `m=-3` vào `(1)` ta được:
`x^2-2(-3-1)x-(-3)-3=0`
`<=>x^2+8x=0`
`<=>x(x+8)=0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x+8=0\end{array} \right.\)`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=-8\end{array} \right.\)
Vậy phương trình `(1)` có nghiệm `S={0;-8}` khi `m=-3`
`b)` `Delta=[-2(m-1)]^2-4.1.(-m-3)`
`=4(m^2-2m+1)+4m+12`
`=4m^2-8m+4+4m+12`
`=4m^2-4m+16`
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì: `Delta>0`
`<=>4m^2-4m+16>0`
`<=>4(m^2-m+4)>0`
`<=>m^2-m+4>0`
`<=>m^2-2.m. 1/2+1/4-1/4+4>0`
`<=>(m-1/2)^2+15/4\geq15/4>0∀m∈RR`
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi `m`
`3)` Theo phần b) phương trình có 2 nghiệm `x_1;x`
Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=-m-3\end{cases}$
Lại có: `x_1^2+x_2^2=8`
`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=8`
`=>(2m-2)^2-2(-m-3)=8`
`<=>4m^2-8m+4+2m+6-8=0`
`<=>4m^2-6m+2=0`
`<=>2(2m^2-3m+1)=0`
`<=>2m^2-3m+1=0`
`<=>2m^2-2m-m+1=0`
`<=>2m(m-1)-(m-1)=0`
`<=>(m-1)(2m-1)=0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m-1=0\\2m-1=0\end{array} \right.\)`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m=1\\m=\dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy khi `m=1;m=1/2` thì phương trình có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức `x_1^2+x_2^2=8`
