Gọi d là ƯCLN ( $n^{3}$ + 2.n; $n^{4}$ + 3. $n^{2}$ + 1)
⇒ n^3 + 2.n chia hết cho d và n^ 4+ 3.n^2 + 1 chia hết cho d
⇒ n.( n^3+ 2.n) chia hết cho d và n^ 4+ 3.n^2+ 1 chia hết cho d
⇒ n^ 4 + 2.n^2 chia hết cho d và n^4 + 3.n^2 + 1 chia hết cho d
⇒ n^4+ 3.n^2+ 1-( n^ 4+ 2.n^2) chia hết cho d
⇒ n^2 +1 chia hết cho d
⇒ n. ( n^2+ 1) chia hết cho d
⇒ n^3 + n chia hết cho d
Mà n^3+ 2.n chia hết cho d
⇒ n^3 + 2.n- n^3- n chia hết cho d
⇒ n chia hết cho d
⇒ n.n chia hết cho d
⇒ n^2 chia hết cho d
Ta lại có: n^2+ 1 chia hết cho d
⇒ n^2+ 1- n^2 chia hết cho d
⇒ 1 chia hết cho d
⇒ d= 1
⇒$\dfrac{n^{3}+ 2.n}{x^{4}+ 3.n^{2}+ 1 }$ tối giản
Vậy $\dfrac{n^{3}+ 2.n}{x^{4}+ 3.n^{2}+ 1 }$ tối giản với mọi n ∈ N*
Chúc em học tốt!
