Giải:
Gọi ƯC(n³ + 2n; $n^{4}$ + 3n² + 1) = d
⇒ n³ + 2n chia hết cho d
$n^{4}$ + 3n² + 1 chia hết cho d
⇒ n(n³ + 2n) chia hết cho d
⇒ $n^{4}$ + 2n² chia hết cho d
⇒ $n^{4}$ + 3n² + 1 - ($n^{4}$ + 2n²) chia hết chod
⇒ $n^{4}$ + 3n² + 1 - $n^{4}$ - 2n² chia hết cho d
⇒ n² + 1 chia hết cho d
⇒ n(n² + 1) chia hết cho d
⇒ n³ + n chia hết chod
⇒ n³ + 2n - (n³ + n) chia hết cho d
⇒ n chia hết cho d
⇒ n² chia hết cho d
⇒ n² + 1 - n² chia hết cho d
⇒ 1 chia hết cho d
Vậy $\frac{n^{3}+2n}{n^{4}+3n^{2}+1}$ là phân số tối giản với mọi n ∈ N
