c)
Cách 1:
Mình ghi tóm tắt thôi, nếu bạn không hiểu chỗ nào thì hỏi mình lại:
Trên tia đối $HA$ lấy điểm $D$ sao cho $H$ là trung điểm $AD$
$\Delta ACD$ có:
$H$ là trung điểm $AD$
$MC=2MH$
$\to M$ là trọng tâm $\Delta ACD$
Kéo dài $AM$ cắt $CD$ tại $F$
$\to F$ là trung điểm $CD$
$\to FH$ là đường trung bình $\Delta ACD$
$\to FH\,//\,AC$
$\to FH\bot AN$
Mà $NH\bot AF$
$\to H$ là trực tâm $\Delta ANF$
$\to AH\bot NF$
$\to BM\,//\,NF$
$\to \dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AF}$
Mà: $\dfrac{AM}{AF}=\dfrac{2}{3}$ ( vì $M$ là trọng tâm $\Delta ACD$ )
Nên: $\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{2}{3}$
$\Delta AKH$ có:
$N$ là trung điểm $KH$
Tỉ số: $\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{2}{3}$
Nên: $B$ là trọng tâm $\Delta AKH$
$\to I$ là trung tâm $AK$
$\to AK=2IK$
Cách 2: Cách của cô bạn
Xét $\Delta ANH$ và $\Delta CAM$, ta có:
$\widehat{ANH}=\widehat{CAM}$ ( cùng phụ $\widehat{BAM}$ )
$\widehat{NAH}=\widehat{ACM}$ ( cùng phụ $\widehat{ABC}$ )
$\to \Delta ANH\backsim\Delta CAM$
$\to \dfrac{AN}{AH}=\dfrac{CA}{CM}$
Dễ dàng chứng minh được:
$\,\,\,\,\,\,\,\Delta AHB\backsim\Delta CHA\,\,\,\left( g.g \right)$
$\to \dfrac{AH}{AB}=\dfrac{CH}{CA}$
Lấy hai tỉ số nhân lại với nhau, ta được:
$\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{AN}{AH}\,.\,\dfrac{AH}{AB}\,=\,\dfrac{CA}{CM}\,.\,\dfrac{CH}{CA}$
$\to \dfrac{AN}{AB}=\dfrac{CH}{CM}=\dfrac{3}{2}$
$\Delta AKH$ có:
$N$ là trung điểm $KH$
Tỉ số $\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{3}{2}$
$\to B$ là trọng tâm $\Delta AKH$
$\to I$ là trung điểm $AK$
$\to AK=2IK$
