Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1)

Xét tứ giác $BEFC$ có:

$\widehat{BEC}=90{}^\circ$ ( Vì $CE$ là đường cao )

$\widehat{BFC}=90{}^\circ$ ( Vì $BF$ là đường cao )

$\to \widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90{}^\circ$

Mà hai góc cùng nhìn cạnh $BC$

$\to$tứ giác $BEFC$ nội tiếp

$\to$ tâm $I$ là trung điểm cạnh $BC$

2)

Đổi thành tâm $S$ đi, tại câu $7$ có chữ $K$ rồi

Xét tứ giác $AFHE$ có:

$\widehat{AFH}=90{}^\circ$ ( Vì $BF$ là đường cao )

$\widehat{AEH}=90{}^\circ$ ( Vì $CE$ là đường cao )

$\to \widehat{AFH}+\widehat{AEH}=180{}^\circ$

$\to$ tứ giác $AFHE$ nội tiếp

$\to$ tâm $S$ là trung điểm cạnh $AH$

3)

Xét $\Delta ABC$ có:

$BF,CE$ là hai đường cao cắt nhau tại $H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to AH$ là đường cao thứ $3$

$\to AH\bot BC$

4)

Xét tứ giác $BEHD$ có:

$\widehat{BEH}=90{}^\circ$ ( Vì $CE$ là đường cao )

$\widehat{BDH}=90{}^\circ$ ( vì $AD$ là đường cao )

$\to \widehat{BEH}+\widehat{BDH}=180{}^\circ$

$\to$ tứ giác $BEHD$ nội tiếp

$\to \widehat{AHE}=\widehat{ABC}$ ( góc ngoài bằng góc đối trong )

5)

Xét tứ giác $AEDC$ có:

$\widehat{AEC}=90{}^\circ$ ( Vì $CE$ là đường cao )

$\widehat{ADC}=90{}^\circ$ ( Vì $AD$ là đường cao )

$\to \widehat{AEC}=\widehat{ADC}=180{}^\circ$

Mà $2$ góc cùng nhìn cạnh $AC$

$\to$ tứ giác $AEDC$ nội tiếp

$\to \widehat{ACE}=\widehat{ADE}$ ( $2$ góc cùng nhìn cạnh $AE$ )

6)

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta ADB$ có:

$\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90{}^\circ$ ( Vì $BE$ và $AD$ là đường cao )

$\widehat{AHE}=\widehat{ABD}$ ( cùng phụ góc $\widehat{BAD}$ )

$\to \Delta AEH\sim \Delta ADB\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AE.AB=AH.AD$

7)

Xét $\Delta KEB$ và $\Delta KCF$ có:

$\widehat{FKC}$ chung

$\widehat{KEB}=\widehat{KCF}$ ( tứ giác $BEFC$ nội tiếp )

$\to \Delta KEB\sim\Delta KCF\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$

$\to \dfrac{KE}{KC}=\dfrac{KB}{KF}$

$\to KE.KF=KB.KC$