II.3
a) ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC; ∠ABC = ∠ACB
Lại có: BD = CE (gt)
⇒ AB + BD = AC + CE
⇒ AD = AE
Xét ΔABE và ΔACD có:
AB = AC (cmt)
∠A: góc chung
AE = AD (cmt)
⇒ ΔABE = ΔACD (c.g.c)
⇒ BE = CD (2 cạnh tương ứng)
∠ABE = ∠ACD (2 góc tương ứng)
mà ∠ABC = ∠ACB (cmt)
⇒ ∠ABE - ∠ABC = ∠ACB - ∠ACD
⇒ ∠IBC = ∠ICB
⇒ ∠BIC cân tại I ⇒ IB = IC
Lại có: BE = CD (cmt) ⇒ BE - IB = CD = IC
⇒ IE = ID
b) ΔABC có: ∠A + ∠ABC + ∠ACB = $180^{o}$
⇒ ∠A + 2 . ∠ABC = $180^{o}$
⇒ ∠ABC = $\frac{180^{o}-∠A}{2}$ (1)
ΔADE có AD = AE ⇒ ΔADE cân tại A
⇒ ∠ADE + ∠AED
∠A + ∠ADE + ∠AED = $180^{o}$
⇒ ∠A + 2 . ∠ADE = $180^{o}$
⇒ ∠ADE = $\frac{180^{o}-∠A}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ∠ABC = ∠ADE
mà 2 góc ở vị trí đồng vị ⇒ BC // DE
c) Xét ΔAMB và ΔAMC có:
AB = AC (cm a)
AM: cạnh chung
MB = MC (M là trung điểm của BC)
⇒ ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)
⇒ ∠AMB + ∠AMC (2 góc tương ứng)
mà ∠AMB + ∠AMC = $180^{o}$ (2 góc kề bù)
⇒ ∠AMB = ∠AMC = $\frac{180^{o}}{2}$ = $90^{o}$
⇒ AM ⊥ BC (3)
Xét ΔIMB và ΔIMC có:
IB = IC (cm b)
IM: cạnh chung
MB = MC (M là tđ của BC)
⇒ ΔIMB = ΔIMC (c.c.c)
⇒ ∠IMB = ∠IMC (2 góc tương ứng)
mà ∠IMB + ∠IMC = $180^{o}$ (2 góc kề bù)
⇒ ∠IMB = ∠IMC = $\frac{180^{o}}{2}$ = $90^{o}$
⇒ IM ⊥ BC (4)
Từ (3) và (4) ⇒ 3 điểm A, M, I thẳng hàng
