Đáp án :
$a,$
Vì `ΔABC` cân tại `A`
`AD` là đường cao
`-> AD` là đường phân giác
$\\$
Xét `ΔAND` và `ΔAMD` có :
`hat{AND} = hat{AMD} = 90^o`
`hat{NAD} = hat{MAD}` (Vì `AD` là đường phân giác)
`AD` chung
`-> ΔAND = ΔAMD` (cạnh huyền - góc nhọn)
$\\$
`-> AN = AM` (2 cạnh tương ứng) `-> A` nằm trên đường trung trực của `MN (1)`
và `DN = DM` (2 cạnh tương ứng) `-> D` nằm trên đường trung trực của `MN (2)`
Từ `(1)` và `(2)`
`-> AD` là đường trung trực của `MN`
$\\$
$\\$
$b/$
Vì `ΔABC` cân tại `A`
`AD` là đường cao
`-> AD` là đường trung tuyến
$\\$
Ta có : `DM = DE` (giả thiết)
mà `ND = DM`
`-> ND = DE (= DM)`
$\\$
Xét `ΔBDN` và `ΔCDE` có :
`hat{BDN} = hat{CDE}` (2 góc đối đỉnh)
`ND = DE` (chứng minh trên)
`BD = CD` (Vì `AD` là đường trung tuyến)
`-> ΔBDN = ΔCDE` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
`-> hat{BND} = hat{DEC}` (2 góc tương ứng)
mà `hat{BND} = 90^o`
`-> hat{DEC} = 90^o`
`-> CE⊥DE`
$\\$
$\\$
$d,$
Vì `AD` là đường trung tuyến
`-> BD =1/2 BC = 1/2 . 10 = 5cm`
Ta có : `DN = DM = 3cm` (chứng minh trên)
$\\$
Xét `ΔBND` vuông tại `N` có :
`BN^2 + DN^2 = BD^2`
`-> BN^2 = BD^2 - DN^2`
`-> BN^2 = 5^2 - 3^2 = 4^2`
`-> BN = 4cm`
mà `BN = CE`
`-> CE =4cm`
