Đáp án:
\[T = \left[ {2;4} \right]\]
Giải thích các bước giải:
TXĐ: \(D = R\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
y = \dfrac{{3{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}\\
y - 2 = \dfrac{{3{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}} - 2 = \dfrac{{3{x^2} + 2x + 3 - 2\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}\\
= \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \ge 0,\,\,\,\forall x\\
\Rightarrow y - 2 \ge 0 \Rightarrow y \ge 2\\
y = 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 1\\
y - 4 = \dfrac{{3{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}} - 4 = \dfrac{{\left( {3{x^2} + 2x + 3} \right) - 4.\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}\\
= \dfrac{{ - {x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{ - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = - \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \le 0,\,\,\forall x\\
\Rightarrow y - 4 \le 0 \Leftrightarrow y \le 4\\
y = 4 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\\
\Rightarrow 2 \le y \le 4,\,\,\,\forall x
\end{array}\)
Vậy miền giá trị của hàm số đã cho là \(T = \left[ {2;4} \right]\)
