2Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a/ Ta có: $\widehat{OIM}=\widehat{OBM}=90^0$

$⇒ OIBM$ là tứ giác nội tiếp $(1)$

Lại có: $\widehat{OBM}=\widehat{OAM}=90^0$

$⇒ OBMA$ là tứ giác nội tiếp $(2)$

Từ $(1); (2)$ suy ra: $O, I, B, M, A$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM$

$⇒ MAIB$ là tứ giác nội tiếp

b/ Ta có: $OB=OA$ và $MB=MA$

$⇒ OM$ là đường trung trực đoạn $AB$

$⇒ OM ⊥ AB$ hay $\widehat{OHP}=90^0$

Mặt khác: $I$ là trung điểm đoạn $CD$

$⇒ OI ⊥ CD$ hay $\widehat{OIM}=90^0$

Xét $ΔPOH$ và $ΔMOI$

Có: $\widehat{POH}$ chung

$\widehat{PHO}=\widehat{MIO}$ $(=90^0)$

$⇒ ΔPOH \backsim ΔMOI$

$⇒ \dfrac{OH}{OI}=\dfrac{OP}{OM}$

$⇒ OI.OP=OH.OM=OB^2=OD^2$

Hay $OI.OP=OD^2$

$⇒ \dfrac{OD}{OP}=\dfrac{OI}{OD}$

Xét $ΔODP$ và $ΔOID$

Có: $\dfrac{OD}{OP}=\dfrac{OI}{OD}$

$\widehat{DOP}$ chung

$⇒ ΔODP \backsim ΔOID$

$⇒ \widehat{ODP}=\widehat{OID}=90^0$

$⇒ PD ⊥ OD$

$⇒ PD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

c/ Xét $ΔMBC$ và $ΔMDB$

Có: $\widehat{BMC}$ chung

$\widehat{MBC}=\widehat{MDB}$ (cùng chắn cung $BC$)

$⇒ ΔMBC \backsim ΔMDB$

$⇒ \dfrac{MB}{MD}=\dfrac{MC}{MB}$

$⇒ MC.MD=MB^2=MH.MO$

$⇒ \dfrac{MH}{MC}=\dfrac{MD}{MO}$

Xét $ΔMCH$ và $ΔMOD$

Có: $\dfrac{MH}{MC}=\dfrac{MD}{MO}$

$\widehat{CMH}$ chung

$⇒ ΔMCH \backsim ΔMOD$

$⇒ \dfrac{MC}{CH}=\dfrac{MO}{OD}$ $(3)$

Mặt khác: $ΔMBH \backsim ΔMOB$

$⇒ \dfrac{MB}{HB}=\dfrac{MO}{OB}=\dfrac{MO}{OD}$ $(4)$

Từ $(3); (4)$ suy ra: $\dfrac{MC}{CH}=\dfrac{MB}{HB}$

$⇒ \dfrac{MC^2}{CH^2}=\dfrac{MB^2}{HB^2}=\dfrac{MC.MD}{HB^2}$

$⇒ \dfrac{MC}{CH^2}=\dfrac{MD}{HA^2}$

$⇒ \dfrac{MD}{MC}=\dfrac{HA^2}{HC^2}$ $(đpcm)$