a/ Ta có: $MN^2+MP^2=12^2+9^2=144+81=225=15^2=NP^2$
$→ΔMNP$ vuông tại $M$ (định lý Pytago đảo)
b/ Xét $ΔMNP$ vuông tại $M$:
$\cos\widehat N=\dfrac{NM}{NP}=\dfrac{12}{25}\\→\widehat N≈61^\circ\\→\widehat P=29^\circ$
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔMNP$ vuông tại $M$ có đường cao $MH$:
$\dfrac{1}{MH^2}=\dfrac{1}{MN^2}+\dfrac{1}{MP^2}$ hay $\dfrac{1}{MH^2}=\dfrac{1}{12^2}+\dfrac{1}{9^2}$
$↔\dfrac{1}{MH^2}=\dfrac{1}{144}+\dfrac{1}{81}\\↔\dfrac{1}{MH^2}=\dfrac{25}{1296}\\↔MH^2=\dfrac{1296}{25}\\↔MH=7,2(cm)$
c/ $A$ là hình chiếu của $D$ trên $MN$
$→DA⊥MN\\→\widehat{MAD}=90^\circ$
$B$ là hình chiếu của $D$ trên $MP$
$→DB⊥MP\\→\widehat{MBD}=90^\circ$
$ΔMNP$ vuông tại $M$
$→\widehat{NMP}=90^\circ$ hay $\widehat{AMB}=90^\circ$
Xét tứ giác $MADB$:
$\widehat{MAD}=\widehat{MBD}=\widehat{AMB}=90^\circ$
$→MADB$ là hình chữ nhật
$→AB=MD$
d/ $MD$ là đường xiên của hình chiếu $MH$
$→MD≥MH$ (quan hệ đường xiên và hình chiếu)
mà $AB=MD$
$→AB≥MH$
$→$ Dấu "=" xảy ra khi $MD=MD$
$→D≡H$
Vậy $AB$ nhỏ nhất khi $D≡H$
