a)

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ và $\Delta ACE$ vuông tại $E$, ta có:

$\widehat{BAC}$ là góc chung

$AB=AC$ ( Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )

$\to \Delta ABD=\Delta ACE$ ( cạnh huyền – góc nhọn )

$\to BD=CE$ ( hai cạnh tương ứng )

b)

Vì $\Delta ABD=\Delta ACE$ ( cmt )

$\to AD=AE$ ( hai cạnh tương ứng )

$\to \Delta AED$ cân tại $A$

$\to \widehat{AED}=\frac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Mà $\widehat{ABC}=\frac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$ ( Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )

Nên $\widehat{AED}=\widehat{ABC}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị

Vậy $DE\,\,||\,\,BC$

c)

Ta có:

$\begin{cases}AE+BE=AB\\\\AD+CD=AC\end{cases}$

Mà:

$AE=AD$ ( cmt )

$AB=AC$ ( Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )

Nên $BE=CD$

Xét $\Delta BEH$ vuông tại $E$ và $\Delta CDH$ vuông tại $D$, ta có:

$BE=CD$ ( cmt )

$\widehat{BHE}=\widehat{CHD}$ ( hai góc đối đỉnh )

$\to \Delta BEH=\Delta CDH$ ( cạnh góc vuông – góc  nhọn )

$\to BH=CH$ ( hai cạnh tương ứng )

Mà $CH>HD$ ( Vì $CH$ là cạnh huyền trong $\Delta CHD$ vuông tại $D$ )

Nên $BH>HD$

d)

Gọi $F$ là trung điểm $BC$

Xét $\Delta ABF$ và $\Delta ACF$, ta có:

$AB=AC$ ( Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )

$FB=FC$ ( Vì $F$ là trung điểm $BC$ )

$AF$ là cạnh chung

$\to \Delta ABF=\Delta ACF\,\,\,\left( \,c\,.\,c\,.\,c\, \right)$

$\to \widehat{BAF}=\widehat{CAF}$ ( hai góc tương ứng )

$\to AF$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ACH$, ta có:

$AB=AC$ ( Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ )

$BH=CH$ ( cmt )

$AH$ là cạnh chung

$\to \Delta ABH=\Delta ACH\,\,\,\left( \,c\,.\,c\,.\,c\, \right)$

$\to \widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ ( hai góc tương ứng )

$\to AH$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$

Mà $AF$ cũng là tia phân giác $\widehat{BAC}$ ( cmt )

$\to AH\equiv AF$

$\to $ba điểm $A,H,F$ thẳng hàng

Mà $F$ là trung điểm $BC$

Nên $AH$ đi qua trung điểm $F$ của $BC$

e)

Kẻ $KG\bot AF$

$BA=BK$ ( gt )

$\to \Delta BAK$ cân tại $B$

$\to \widehat{BAK}=\widehat{BKA}$

Ta có:

$\begin{cases}\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\,\,\,\left(\,cmt\right)\\\\\widehat{CAH}=\widehat{HKG}\,\,\,\left(\text{ cùng phụ góc GHK }\right)\end{cases}$

$\to \widehat{BAH}=\widehat{HKG}$

Ta có:

$\begin{cases}\widehat{BAH}+\widehat{GAK}=\widehat{BAK}\\\\\widehat{HKG}+\widehat{GKA}=\widehat{BKA}\end{cases}$

Mà:

$\widehat{BAH}=\widehat{HKG}$ ( cmt )

$\widehat{BAK}=\widehat{BKA}$ ( cmt )

Nên $\widehat{GAK}=\widehat{GKA}$

$\to \Delta GAK$ cân tại $G$

Mà $\Delta GAK$ lại vuông tại $G$

Nên $\Delta GAK$ là tam giác vuông cân tại $G$

$\to \widehat{GAK}=45{}^\circ $

$\to \widehat{HAK}=45{}^\circ $