`A_{n} = 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)^2` `(1)`
`text{Đặt vế trái bằng}` `A_{n}`
`- text{Với n = 1}`
`-> A_{1} = 4 = 4` `(text{đúng})`
`-> text{(1) đúng}`
`text{Giả sử đẳng thức đúng với}` `n = k >= 1` `text{, khi đó}`
`A_{k} = 1.4 + 2.7 + ... + k.(3k + 1) = k.(k + 1)^2` `(text{Giả thuyết quy nạp})`
`text{Ta phải chứng minh}` `A_{k + 1} = 1.4 + 2.7 + ... + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1).(k + 2)^{2}`
`text{Thật vậy}`
`A_{k + 1}`
`= 1.4 + 2.7 + ... + k.(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4)`
`= k.(k + 1)^2 + (k + 1).(3k + 4)`
`= (k + 1)[k.(k + 1) + 3k + 4]`
`= (k + 1).(k^2 + 4k + 4)`
`= (k + 1).(k + 2)^{2}`
`text{Theo giả thuyết quy nạp, nên (1) đúng}`
