Đáp án:
`1,`
Vì `ΔABC` cân tại `A`
`AD` là đường phân giác
`-> AD` là đường cao, đường trung tuyến
Có : `AD` là đường trung tuyến
`-> D` là trung điểm của `BC`
Xét `ΔADB` vuông tại `D` có :
`AD^2 + BD^2 = AB^2` (Pitago)
`-> BD^2 = AB^2 - AD^2`
`-> BD^2 = 13^2 - 12^2`
`-> BD^2 = 5^2`
`-> BD = 5cm`
mà `D` là trung điểm của `BC`
`-> BD = 1/2 BC`
`-> 5 = 1/2BC`
`-> BC = 10cm`
$\\$
$\\$
$2,$
Xét `ΔBID` và `ΔMID` có :
`hat{BID} = hat{MID} = 90^o`
`BI = MI` (Do `I` là trung điêm của `BM`)
`ID` chung
`-> ΔBID = ΔMID` (cạnh - góc - cạnh)
`-> MD = BD` (2 cạnh tương ứng)
mà `BD = 1/2 BC` (Do `D` là trung điểm của `BC`)
`-> DM = 1/2 BC`
$\\$
$\\$
$3,$
Xét `ΔBDH` và `ΔCDH` có :
`hat{BDH} = hat{CDH} = 90^o` (Do `AH` là đường cao)
`BD = CD` (Do `D` là trung điểm của `BC`)
`HD` chung
`-> ΔBDH = ΔCDH` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{NBC} = hat{MCB}` (2 góc tương ứng)
Xét `ΔBMC` và `ΔCNB` có :
`hat{MCB} = hat{NBC}` (2 góc tương ứng)
`hat{B} = hat{C}` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`BC` chung
`-> ΔBMC = ΔCNB` (góc - cạnh - góc)
`-> BM = CN` (2 cạnh tương ứng)
Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AM = AB - BM\\AN = AC - CN\end{array} \right.\)
mà `AB = AC, BM = CN`
`-> AM = AN`
`-> ΔAMN` cân tại `A`
`-> hat{AMN} = hat{ANM} = (180^o - hat{A})/2` `(1)`
Do `ΔABC` cân tại `A`
`-> hat{ABC} = hat{ACB} = (180^o - hat{A})/2` `(2)`
Từ `(1), (2)`
`-> hat{AMN} = hat{ABC}`
hay `hat{AMN} = hat{IBD}`
Xét `ΔEIM` và `ΔDIB` có :
`hat{EIM} = hat{DIB}` (2 góc đối đỉnh)
`BI = MI` (Do `I` là trung điểm của `BM`)
`EI = DI` (giả thiết)
`-> ΔEIM = ΔDIB` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{EMI} = hat{IBD}` (2 góc tương ứng)
mà `hat{AMN}= hat{IBD}` (chứng minh trên)
`-> hat{EMI} = hat{AMN} (= hat{IBD})`
Có : `hat{AMN} + hat{BMN} = 180^o` (2 góc kề bù)
mà `hat{EMI} = hat{AMN}`
`-> hat{EMI} + hat{BMN} = 180^o`
`-> hat{EMN} = 180^o`
`-> hat{EMN}` là góc bẹt
`-> E,M,N` thẳng hàng
