Đáp án:

Câu 8: $x=-1$   hoặc   $x=116$

Câu 9: $x=2$   hoặc   $x=5$

Câu 10: $x=0$   hoặc   $x=2$

Câu 11: $x=3\pm \sqrt{13}$ 

Câu 12: $x=1$   hoặc   $x=\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

Câu 13: $x=\dfrac{3}{2}$   hoặc   $x=-\dfrac{1}{2}$

Câu 14: $x=0$ hoặc $x=\pm 1$

Giải thích các bước giải:

Câu 8: $\sqrt{x+5}+\sqrt[3]{5-3x}=4$   (ĐK: $x\ge -5$)

Đặt $t=\sqrt{x+5}\,\,\,\left( t\ge 0 \right)$

$\Leftrightarrow {{t}^{2}}=x+5$

$\Leftrightarrow -3{{t}^{2}}=-3x-15$

$\Leftrightarrow 20-3{{t}^{2}}=5-3x$

Pt $\Leftrightarrow t+\sqrt[3]{20-3{{t}^{2}}}=4$

$\Leftrightarrow \left( 20-3{{t}^{2}} \right)={{\left( 4-t \right)}^{3}}$

$\Leftrightarrow {{t}^{3}}-15{{t}^{2}}+48t-44=0$

$\Leftrightarrow {{\left( t-2 \right)}^{2}}\left( t-11 \right)=0$

$\Leftrightarrow t=2$   hoặc   $t=11$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+5}=2$   hoặc   $\sqrt{x+5}=11$

$\Leftrightarrow x=-1$   hoặc   $x=116$

Câu 9: $\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{6-x}}=\dfrac{3}{2}$   (ĐK: $1<x<6$)

Đặt $a=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\,\,\left( a>0 \right)\,\,;\,\,b=\dfrac{1}{\sqrt{6-x}}\,\,\left( b>0 \right)$

$\Rightarrow a+b=\dfrac{3}{2}$

Xét ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{6-x}=\dfrac{5}{\left( x-1 \right)\left( 6-x \right)}$

Xét ${{a}^{2}}.{{b}^{2}}=\dfrac{1}{x-1}\cdot \dfrac{1}{6-x}=\dfrac{1}{\left( x-1 \right)\left( 6-x \right)}$

Vậy ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5{{a}^{2}}{{b}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab=5{{a}^{2}}{{b}^{2}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{9}{4}-2ab=5{{a}^{2}}{{b}^{2}}$

$\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}{{b}^{2}}+2ab-\dfrac{9}{4}=0$

$\Leftrightarrow ab=\dfrac{1}{2}$ (nhận)   hoặc   $ab=-\dfrac{9}{10}$ (loại)

Kết hợp $a+b=\dfrac{3}{2}$

Theo Vi-et đảo, $a,b$ là nghiệm của pt

${{X}^{2}}-\dfrac{3}{2}X+\dfrac{1}{2}=0$

$\Leftrightarrow X=1$   hoặc   $X=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}a=1\\b=\dfrac{1}{2}\end{cases}$   hoặc   $\begin{cases}a=\dfrac{1}{2}\\b=1\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}=1\\\dfrac{1}{\sqrt{6-x}}=\dfrac{1}{2}\end{cases}$   hoặc   $\begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{\sqrt{6-x}}=1\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=2\\x=2\end{cases}$   hoặc   $\begin{cases}x=5\\x=5\end{cases}$

$\Leftrightarrow x=2$   hoặc   $x=5$

Câu 10: ${{x}^{2}}+2=2\sqrt{{{x}^{3}}+1}$   (ĐK: $x\ge -1$)

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2=2\sqrt{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}$

Đặt $a=\sqrt{x+1}\,\,\left( a\ge 0 \right)$

Đặt $b=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\,\,\left( b>0 \right)$

$\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{x}^{2}}+2$

Pt $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2ab$

$\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow a=b$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$

$\Leftrightarrow x+1={{x}^{2}}-x+1$

$\Leftrightarrow x=0$ (nhận)   hoặc   $x=2$ (nhận)

Câu 11: $2{{x}^{2}}-6x+4=3\sqrt{{{x}^{3}}+8}$   (ĐK: $x\ge -2$)

$\Leftrightarrow 2\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)=3\sqrt{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)}$

Đặt $a=\sqrt{x+2}\,\,\left( a\ge 0 \right)$

Đặt $b=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}\,\,\left( b>0 \right)$

$\Rightarrow {{b}^{2}}-{{a}^{2}}={{x}^{2}}-3x+2$

Pt $\Leftrightarrow 2\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)=3ab$

$\Leftrightarrow \left( 2a-b \right)\left( a+2b \right)=0$

$\Leftrightarrow 2a=b$   (vì $a+2b>0$)

$\Rightarrow 2\sqrt{x+2}=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}$

$\Leftrightarrow 4\left( x+2 \right)={{x}^{2}}-2x+4$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x-4=0$

$\Leftrightarrow x=3\pm \sqrt{13}$ (nhận)

Câu 12: ${{x}^{3}}+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

Đặt $t=\sqrt[3]{2x-1}$

$\Leftrightarrow {{t}^{3}}=2x-1$

$\Leftrightarrow 1=2x-{{t}^{3}}$

Pt $\Leftrightarrow {{x}^{3}}+2x-{{t}^{3}}=2t$

$\Leftrightarrow \left( x-t \right)\left( {{x}^{2}}+xt+{{t}^{2}} \right)+2\left( x-t \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( x-t \right)\left( {{x}^{2}}+xt+{{t}^{2}}+2 \right)=0$

$\Leftrightarrow x=t$   (vì ${{x}^{2}}+xt+{{t}^{2}}+2>0$)

$\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2x-1}$

$\Leftrightarrow {{x}^{3}}=2x-1$

$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)=0$

$\Leftrightarrow x=1$   hoặc   $x=\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

Câu 13: $2\sqrt{2x+1}+2\sqrt{3-2x}={{\left( 2x-1 \right)}^{2}}$   (ĐK: $-\dfrac{1}{2}\le x\le \dfrac{3}{2}$)

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2x+1}+2\sqrt{3-2x}=4{{x}^{2}}-4x+1$

$\Leftrightarrow \left[ 2\sqrt{2x+1}-\left( 2x+1 \right) \right]+\left[ 2\sqrt{3-2x}-\left( 3-2x \right) \right]+\left( -4{{x}^{2}}+4x+3 \right)=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{4\left( 2x+1 \right)-{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}{2\sqrt{2x+1}+2x+1}+\dfrac{4\left( 3-2x \right)-{{\left( 3-2x \right)}^{2}}}{2\sqrt{3-2x}+3-2x}+\left( -4{{x}^{2}}+4x+3 \right)=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{-4{{x}^{2}}+4x+3}{2\sqrt{2x+1}+2x+1}+\dfrac{-4{{x}^{2}}+4x+3}{2\sqrt{3-2x}+3-2x}+\left( -4{{x}^{2}}+4x+3 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( -4{{x}^{2}}+4x+3 \right)\left( \dfrac{1}{2\sqrt{2x+1}+2x+1}+\dfrac{1}{2\sqrt{3-2x}+3-2x}+1 \right)=0$

$\Leftrightarrow -4{{x}^{2}}+4x+3=0$   (vế sau luôn dương)

$\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$ (nhận)   hoặc   $x=-\dfrac{1}{2}$ (nhận)

Câu 14: $\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}=\sqrt{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}+1$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}=\sqrt{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}+1$

$\Leftrightarrow a+b=ab+1$   với $\begin{cases}a=\sqrt{x^2+x+1}\\b=\sqrt{x^2-x+1}\end{cases}\,\,\,\left(a,b>0\right)$

$\Leftrightarrow \left( a-1 \right)\left( 1-b \right)=0$

$\Leftrightarrow a=1$   hoặc   $b=1$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=1$   hoặc   $\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}=1$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x=0$   hoặc   ${{x}^{2}}-x=0$

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=-1\end{array} \right.$   hoặc   $\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x=0$   hoặc   $x=\pm 1$