Vì $a,b,c>0\, và a+b+c=1\Rightarrow 1-a\ge 0, 1-b\ge 0, 1-c\ge 0$
Áp dụng bất đẳng thức $xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}$ ta được:
$\begin{array}{l} \left( {1 - a} \right)\left( {1 - c} \right) \le \dfrac{{{{\left( {1 - a + 1 - c} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{{\left( {2 - a - c} \right)}^2}}}{4}\\ = \dfrac{{{{\left( {1 + a + b + c - a - c} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{{\left( {1 + b} \right)}^2}}}{4}\left( {a + b + c = 1} \right) \end{array}$
Do đó
$\begin{array}{l} 4\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) \le 4\left( {1 - b} \right).\dfrac{{{{\left( {1 + b} \right)}^2}}}{4} = \left( {1 - b} \right){\left( {1 + b} \right)^2}\\ = \left( {1 - b} \right)\left( {1 + b} \right)\left( {1 + b} \right) = \left( {1 - {b^2}} \right)\left( {1 + b} \right)\\ + {b^2} \ge 0 \Rightarrow 1 - {b^2} \le 1 \Rightarrow \left( {1 - {b^2}} \right)\left( {1 + b} \right) \le 1 + b = a + b + 2c\\ \Rightarrow 4\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) \le a + b + 2c \end{array}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $1-b^2=1, a=c\Rightarrow b=0, a=c=0,5$
