Lời giải:
Trên tia đối của tia $DA$ lấy điểm $M$ sao cho $DA = DM$
$\Rightarrow AM = 2AD$
Xét $\triangle DAB$ và $\triangle DMC$ có:
$\begin{cases}DA = DM\qquad\ \text{(cách dựng)}\\\widehat{ADB} = \widehat{MDC}\quad \text{(đối đỉnh)}\\BD = DC = \dfrac12BC\quad (gt)\end{cases}$
Do đó: $\triangle DAB = \triangle DMC\ (c.g.c)$
$\Rightarrow AB = CM$ (hai cạnh tương ứng)
Xét $\triangle ACM$ luôn có:
$\quad AM < AC + CM$ (bất đẳng thức tam giác)
$\Leftrightarrow 2AD < AC + AB$
$\Leftrightarrow AD < \dfrac{AB+AC}{2}$
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được:
$BE < \dfrac{AB+BC}{2}$
$CF < \dfrac{BC+AC}{2}$
Cộng vế theo vế ta được:
$AD + BE + CF < AB + BC + AC\qquad (1)$
Gọi $G$ là trọng tâm của $\triangle ABC$
$\Rightarrow \begin{cases}AG = \dfrac23AD\\BG = \dfrac23BE\\CG = \dfrac23CF\end{cases}$ (tính chất trọng tâm)
Xét $\triangle ABG$ luôn có:
$\quad AB < AG + BG$ (bất đẳng thức tam giác)
$\Leftrightarrow AB < \dfrac23AD + \dfrac23BE$
$\Leftrightarrow \dfrac32AB < AD + BE$
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được:
$\dfrac32BC < BE + CF$
$\dfrac32AC < AD + CF$
Cộng vế theo vế ta được:
$\quad\dfrac32(AB + BC + AC) < 2(AD + BE + CF)$
$\Leftrightarrow \dfrac34(AB + BC + AC)< AD + BE + CF\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow \dfrac34(AB + BC + AC)< AD + BE + CF < AB + BC + AC$
