a.
Đặt đường trụng trực AB đó là DI
Ta có:
Vì DI là đường trung trực của AB nên DA = DB (1)
và DI ⊥ AC ⇒ DI // AC (cùng vuông góc với AB) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ DI là đường trung bình của ΔABC
⇒ IB = IC
⇒AI là đường trung tuyến của ΔABC
Mà ΔABC vuông tại A
⇒AI = IB = IC
⇒ΔAIB và ΔAIC cân tại I
b.
Xét 2Δ vuông:
ΔMIB và ΔMIC có:
IB = IC (câu a)
M chung
⇒ ΔMIB = ΔMIC (c.g.c) (3)
⇒ ∠ACM = ∠ACB (c.g.t.ư)
và ∠MCB = ∠MBC
⇒ ∠ABC = 2∠ACB (∠ABC là ∠MBC nha)
Mà ΔABC vuông tại A
⇒ ∠ACB + ∠MBC = 90 độ
⇒ ∠ACB + 2∠ACB = 90 độ
⇒ 3∠ACB = 90 độ
⇒ ∠ACB = 30 độ
⇒ ∠ABC = 60 độ (4) ⇒ ΔAIB đều (6)
C/m tương tự với ΔIBM ⇒ ∠IMB = 30 độ
⇒∠ACB = ∠IMB = 30 độ
Từ (3) lại ⇒ MB = MC
⇒ ΔBMC cân tại M (5)
Từ (4) và (5) ⇒ ΔBMC đều
Mà AC ⊥ BM ⇒ CA là đường trung tuyến của ΔBMC
AM = AB
Từ (6) ⇒ AB= BI ⇒ AM = IC
Xét 2Δ vuông:
ΔAMN và ΔICN có:
∠ACB = ∠IMB (c/m)9
AM = IC (c/m)
⇒ ΔAMN = ΔICN (g.c.g)
⇒ NM = NC (c.c.t.ư)
⇒ N ∈ đường trung trực của CM (7)
Mà BC = BM ( ΔBMC đều )
⇒ B ∈ đường trung trực của CM (8)
Từ (7) và (8) ⇒ BN là đường trung trực của CM
⇒ BN ⊥ CM hay BE ⊥ CM (đpcm)
c.
VÌ BE ⊥ CM ⇒ BE là đường trung tuyến của ΔBMC
⇒ EC = EM
Mà AM = AB
⇒ AE là đường trung bình của ΔBMC ⇒ AE // BC
[Nếu tui có ghi sai chính tả hay gì thì nhẹ nhàng chỉ bảo giúp tui nha~ v]
