Đáp án+Giải thích các bước giải:
`P=(x+1/x)^2+(y+1/y)^2`
`=x^2+2+1/x^2+y^2+2+1/y^2`
`=4+x^2+y^2+1/x^2+1/y^2`
`=4+x^2-2xy+y^2+2xy+1/x^2-2/xy+1/y^2+2/xy`
`=4+(x-y)^2+2xy+(1/x-1/y)^2+2xy`
`=4+(x-y)^2+(1/x-1/y)^2+2xy+(8.2)/(8.xy)`
`=4+(x-y)^2+(1/x-1/y)^2+2xy+1/8xy+15/8xy`
Với mọi `x, y` có: `(x-y)^2>=0` (`1`)
`(1/x-1/y)^2>=0, ∀x, y` (`2`)
Vì `x,y>0⇒2xy, 1/8xy>0`
Áp dụng bđt Cauchy cho `2` số không âm `2xy` và `1/8xy` có:
`2xy+1/8xy≥2sqrt{2xy.1/8xy}=2sqrt{1/4}=1` (`3`)
Từ (`1`); (`2`) và (`3`)⇒`(x-y)^2+(1/x-1/y)^2+2xy+1/8xy≥0+0+1`
`⇒4+(x-y)^2+(1/x-1/y)^2+2xy+1/8xy+15/8xy≥1+4+15/8xy`
Hay `P≥1+4+15/8xy=5+15/8xy`
Ta có: `x+y≤1`
⇒`(x+y)^2≤1`
Mà `(x+y)^2≥0, ∀x, y` nên ta có:
TH1:`(x+y)^2=0`
Khi đó:`xy≤((x+y)^2)/4=0/4=0`
⇒`8xy≤0.8=0`
Suy ra: `P≥5+15/0` ( vô lí vì mẫu luôn luôn khác 0 )
TH2:`(x+y)^2=1`
Khi đó:`xy≤((x+y)^2)/4=1/4=1/4`
⇒`8xy≤1/4.8=2`
Suy ra: `P≥5+15/2=25/2`
Dấu`"="` xảy ra khi: `x=y=1/2`
Vậy `P_{MIN}=25/2` khi `x=y=1/2`
