Đáp án:

`a)x=1,y=2,z=3`

`b)x=3,y=7,z=14.`

Giải thích các bước giải:

`a)` ĐKXĐ: `x≥0,y≥1,z≥2`

`\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2} = 1/2(x+y+z)`

`<=> 2.(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2})= 2. 1/2(x+y+z)`

`<=> 2\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}+2\sqrt{z-2}=x+y+z`

`<=> x +y+z - 2\sqrt{x} - 2\sqrt{y-1} - 2\sqrt{z-2}=0`

`<=> (x-2\sqrt{x} +1) + [(y-1) - 2\sqrt{y-1} +1] + [(z-2) - 2\sqrt{z-2} +1] =0`

`<=>(\sqrt{x}-1)^2 + (\sqrt{y-1}-1)^2 + (\sqrt{z-2}-1)^2=0`

Với mọi số thực `x,y` và `z` ta có: 

`(\sqrt{x}-1)^2 ≥0`

`(\sqrt{y-1}-1)^2≥0`

`(\sqrt{z-2}-1)^2≥0`

`=>(\sqrt{x}-1)^2 + (\sqrt{y-1}-1)^2 + (\sqrt{z-2}-1)^2≥0`

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

`{(\sqrt{x}-1=0),(\sqrt{y-1}-1=0),(\sqrt{z-2}-1=0):}<=>``{(\sqrt{x}=1),(\sqrt{y-1}=1),(\sqrt{z-2}=1):}``<=>x=1,y=2,z=3.`

Các giá trị của `x,y,z` đều thỏa mãn điều kiện xác định (ĐKXĐ).

Vậy `x=1,y=2,z=3` là các đáp số phù hợp.

`b)` ĐKXĐ: `x≥2,y≥3,z≥5`

`x+y+z+4=2\sqrt{x-2} + 4\sqrt{y-3} + 6\sqrt{z-5}`

`<=>x+y+z+4-2\sqrt{x-2} - 4\sqrt{y-3} - 6\sqrt{z-5}=0`

`<=>[(x-2) -2\sqrt{x-2} + 1] + [(y-3) - 4\sqrt{y-3} +4] + [(z-5) - 6\sqrt{z-5} +9] =0`

`<=>[(\sqrt{x-2})^2 -2.\sqrt{x-2}.1 + 1^2] + [(\sqrt{y-3})^2 - 2.\sqrt{y-3}.2 +2^2] + [(\sqrt{z-5})^2 - 2.\sqrt{z-5}.3 +3^2] =0`

`<=> (\sqrt{x-2}-1)^2+ (\sqrt{y-3}-2)^2 + (\sqrt{z-5}-3)^2=0`

Với mọi số thực `x,y` và `z` ta có: 

`(\sqrt{x-2}-1)^2≥0`

`(\sqrt{y-3}-2)^2≥0`

`(\sqrt{z-5}-3)^2≥0`

`=>(\sqrt{x-2}-1)^2+ (\sqrt{y-3}-2)^2 + (\sqrt{z-5}-3)^2≥0`

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

`{(\sqrt{x-2}-1=0),(\sqrt{y-3}-2=0),(\sqrt{z-5}-3=0):}<=>``{(\sqrt{x-2}=1),(\sqrt{y-3}=2),(\sqrt{z-5}=3):}``<=>x=3,y=7,z=14.`

Các giá trị của `x,y,z` đều thỏa mãn điều kiện xác định (ĐKXĐ).

Vậy `x=3,y=7,z=14` là các đáp số phù hợp.

a/ ĐK: $\begin{cases}x\ge 0\\y-1\ge 0\\z-2\ge 0\end{cases}$

$↔\begin{cases}x\ge 0\\y\ge 1\\z\ge 2\end{cases}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các không âm:

$\sqrt x\le \dfrac{x+1}{2}$

$\sqrt{y-1}\le \dfrac{y}{2}$

$\sqrt{z-2}\le \dfrac{z-1}{2}$

Cộng các vế bất đẳng thức ta được: 

$\sqrt x+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\le \dfrac{x+y+z}{2}$

$↔\sqrt x+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\le \dfrac{1}{2}(x+y+z)$

$→$ Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}x=1\\y-1=1\\z-2=1\end{cases}$

$↔\begin{cases}x=1(TM)\\y=2(TM)\\z=3(TM)\end{cases}$

Vậy $(x,y,z)=(1;2;3)$

b/ ĐK: $x\ge 2;y\ge 3;z\ge 5$

Xét hiệu $x+y+z+4-2\sqrt{x-2}-4\sqrt{y-3}-6\sqrt{z-5}$

$=(x-2-2\sqrt{x-2}+1)+(y-3-4\sqrt{y-3}+4)+(z-5-6\sqrt{z-5}+9)\\=(\sqrt{x-2}-1)^2+(\sqrt{y-3}-2)^2+(\sqrt{z-5}-3)^2$

Ta có: $\begin{cases}(\sqrt{x-2}-1)^2\ge 0\\(\sqrt{y-3}-2)^2\ge 0\\(\sqrt{z-5}-3)^2\ge 0\end{cases}$

$→(\sqrt{x-2}-1)^2+(\sqrt{y-3}-2)^2+(\sqrt{z-5}-3)^2\ge 0$

$↔x+y+z+4-2\sqrt{x-2}-4\sqrt{y-3}-6\sqrt{z-5}\ge 0\\↔x+y+z\ge 2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}$

$→$ Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}\sqrt{x-2}-1=0\\\sqrt{y-3}-2=0\\\sqrt{z-5}-3=0\end{cases}$

$↔\begin{cases}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y-3}=2\\\sqrt{z-5}=3\end{cases}\\↔\begin{cases}x-1=1\\y-3=4\\z-5=9\end{cases}\\↔\begin{cases}x=2(TM)\\y=7(TM)\\z=14(TM)\end{cases}$

Vậy $(x,y,z)=(2;7;14)$