`1)` $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>\hat{BAC}=90°`
`BM` là tiếp tuyến tại $M$ của `(C;CA)`
`=>\hat{BMC}=90°`
Xét tứ giác $ACMB$ có:
`\qquad \hat{BAC}+\hat{BMC}=90°+90°=180°`
Vì hai góc `\hat{BAC};\hat{BMC}` ở vị trí đối nhau
`=>ACMB` là tứ giác nội tiếp
`=>A;C;M;B` cùng thuộc một đường tròn
$\\$
`2)` Xét $∆NAC$ và $∆PMC$ có:
`\qquad AC=MC` (bán kính của `(C;CA)`)
`\qquad \hat{NAC}=\hat{PMC}=90°`
`\qquad AN=MP` (gt)
`=>∆NAC=∆PMC` (c-g-c)
`=>CN=CP`
`=>∆CNP` cân tại $C$ (đpcm)
$\\$
Vì $∆NAC=∆PMC$ (c/m trên)
`=>\hat{CNA}=\hat{CPM}=\hat{CPB}`
`=>NCPB` nội tiếp (có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
`=>\hat{CNP}=\hat{CBP}` (cùng chắn cung $CP$)
$\\$
Vì $ACMB$ nội tiếp (câu 1)
`=>\hat{CAM}=\hat{CBM}=\hat{CBP}` (cùng chắn cung $CM$)
$\\$
`=>\hat{CNP}=\hat{CAM}` $(1)$
Gọi $F$ là giao điểm của $AM$ và $NP$
`(1)=>\hat{CNF}=\hat{CAF}`
`=>` Hai đỉnh `N;A` cùng nhìn cạnh $CF$ dưới hai góc bằng nhau
`=>ACFN` nội tiếp
`=>\hat{NAC}+\hat{NFC}=180°`
`=>90°+\hat{NFC}=180°`
`=>\hat{NFC}=90°`
`=>`$CF\perp NF$
`=>CF` là đường cao của $∆CNP$ cân tại $C$
`=>CF` cũng là đường trung tuyến
`=>F` là trung điểm $NP$
Vậy $AM$ đi qua trung điểm $F$ của $NP$ (đpcm)
