Đáp án: $\dfrac43x+y+1=0$ hoặc $y+1=0$
Giải thích các bước giải:
Ta có phương trình đường thẳng$(\Delta)$ có dạng $ax+by+c=0, a^2+b^2\ne 0$
Vì $d(A, \Delta)=2, d(B, \Delta)=4$
$\to\begin{cases}\dfrac{|a\cdot 1+b\cdot 1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\\\dfrac{|a\cdot 2+b\cdot 3+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=4\end{cases}$
$\to\begin{cases}|a\cdot 1+b\cdot 1+c|=2\sqrt{a^2+b^2}\\|a\cdot 2+b\cdot 3+c|=4\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}$
$\to\begin{cases}|a\cdot 1+b\cdot 1+c|=2\sqrt{a^2+b^2}\\|a\cdot 2+b\cdot 3+c|=4\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}$
$\to\begin{cases}|a+b+c|=2\sqrt{a^2+b^2}\\|2a+3b+c|=4\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}$
$\to\begin{cases}|a+b+c|=2\sqrt{a^2+b^2}\\|2a+3b+c|=2|a+b+c|\end{cases}$
$\to\begin{cases}|a+b+c|=2\sqrt{a^2+b^2}\\|2a+3b+c|=|2a+2b+2c|\end{cases}$
$\to\begin{cases}|a+b+c|=2\sqrt{a^2+b^2}\\2a+3b+c=2a+2b+2c\text{ hoặc 2a+3b+c=-(2a+2b+c)}\end{cases}$
$\to\begin{cases}|a+b+c|=2\sqrt{a^2+b^2}\\b=c\text{ hoặc }4a+5b+2c=0\end{cases}$
Trường hợp $b=c$
Ta có:
$|a+b+c|=2\sqrt{a^2+b^2}$
$\to |a+2b|=2\sqrt{a^2+b^2}$
$\to (a+2b)^2=4(a^2+b^2)$
$\to a^2+4ab+4b^2=4a^2+4b^2$
$\to 3a^2-4ab=0$
$\to a(3a-4b)=0$
$\to a=0$ hoặc $3a-4b=0\to a=\dfrac43b$
Nếu $a=0\to b\ne 0$ vì $a^2+b^2\ne 0\to $phương trình $(\Delta)$ là
$0x+by+b=0\to y+1=0$
Nếu $a=\dfrac43b\to a, b\ne 0$ vì $a^2+b^2\ne 0$
$\to $phương trình $(\Delta)$ là
$\dfrac43bx+by+b=0$
$\to \dfrac43x+y+1=0$
Trường hợp $4a+5b+2c=0$
$\to c=-\dfrac{4a+5b}{2}$
Mà $|a+b+c|=2\sqrt{a^2+b^2}$
$\to |a+b-\dfrac{4a+5b}{2}|=2\sqrt{a^2+b^2}$
$\to |-\dfrac{2a+3b}{2}|=2\sqrt{a^2+b^2}$
$\to |2a+3b|=4\sqrt{a^2+b^2}$
$\to (2a+3b)^2=16(a^2+b^2)$
$\to 4a^2+12ab+9b^2=16a^2+16b^2$
$\to 12a^2-12ab+7b^2=0$
$\to 3(2a-b)^2+4b^2=0$
Mà $3(2a-b)^2+4b^2\ge 0,\quad\forall a, b$
$\to 3(2a-b)^2=4b^2=0$
$\to a=b=0\to a^2+b^2=0\to$loại
