Đáp án:
$a)(d):y=-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{13}{3}\\ b)(d):y=-x+1\\ c)(d): y=x+4\\ d)(d): y=-x+3$
Giải thích các bước giải:
$a) (d) \perp y=3x+4\\ \Rightarrow a.2=-1\Rightarrow a=-\dfrac{1}{3}\\ M(2;-5) \in (d) \Rightarrow -5=-\dfrac{1}{3}.2+b\\ \Leftrightarrow b=-\dfrac{13}{3}\\ \Rightarrow (d):y=-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{13}{3}\\ b)(d) // y=-x+4\\ \Rightarrow a=-1\\ (3;-2) \in (d) \Rightarrow -2=-1.3+b\\ \Leftrightarrow b=1\\ \Rightarrow (d):y=-x+1\\ c)(d):y=x+b$
Phương trình đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $(d)$ có dạng $y=a'x+b'(d')$ thoả:
$ \left\{\begin{array}{l} a'.1=-1\\ 0=a'.0+b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a'=-1\\b=0\end{array} \right.\\ \Rightarrow (d'):y=-x$
Phương trình hoành độ giao điểm giữa $(d);(d'):$
$x+b=-x\\ \Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2} \Rightarrow y=\dfrac{b}{2}$
Toạ độ giao điểm: $ A\left(-\dfrac{b}{2};\dfrac{b}{2}\right)$
$d(O;(d))=OA=\sqrt{\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}}=2\sqrt{2}\\ \Rightarrow b=4\\ \Rightarrow (d): y=x+4\\ d)M(1;2) \in (d) \Rightarrow 2=a+b\\ x=0 \Rightarrow y=b\\ y=0 \Rightarrow x=-\dfrac{b}{a}$
Theo yêu cầu bài: $b=-\dfrac{b}{a}$
$\Leftrightarrow ba+b=0\\ \Leftrightarrow b(2-b)+b=0\\ \Leftrightarrow -b^2+3b=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} b=0 \Rightarrow a=2\Rightarrow (d):y=2x\text{(Loại do đi qua O)}\\ b=3\Rightarrow a=-1\Rightarrow (d):y=-x+3\end{array} \right.$
