`1)` $CM: AMBD$ là hình thoi
+) Vì $M$ và $D$ đối xứng qua $AB$(gt)
`=>AB` là đường trung trực của $DM$
`=> AD=AM; BD=BM \ (1)`
+) $∆ABC$ vuông tại $A$ có trung tuyến $AM$
`=>AM=1/ 2 BC=BM\ (2)`
Từ `(1);(2)=>AD=BD=BM=AM`
`=>` Tứ giác $AMBD$ là hình thoi (tứ giác có $4$ cạnh bằng nhau là hình thoi)
`2)` $CM: AMDE$ là hình bình hành và $B;D;E$ thẳng hàng.
+) Xét `∆BCE` có:
$\quad *M$ là trung điểm $BC$ (vì $AM$ là trung tuyến)
$\quad *A$ là trung điểm $CE$ (vì $C;E$ đối xứng qua $A$)
`=>` $AM$ là đường trung bình $∆BCE$
`=>` $BE \parallel AM \ (3)$
`=>` $DE \parallel AM \ (4)$
+) Vì $AB$ là trung trực của $DM$ (câu 1)
`=>DM` $\perp {AB}$
Mà $AC\perp {AB}$ ($∆ABC$ vuông tại $A$)
`=>` $DM\parallel AC$ `=>` $DM\parallel EA \ (5)$
Từ `(4);(5)=>AMDE` là hình bình hành (tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song)
+) Vì $AMBD$ là hình thoi (câu 1)
`=>` $BD\parallel AM $
Mà $BE \parallel AM \ (3)$
`=>B,D,E` thẳng hàng (Tiên đề Ơclit)
`3)` CM: $BF \perp {CH}$
+) Gọi $G$ là trung điểm của $EH$
`∆AEH` có $G,F$ lần lượt là trung điểm của $EH;AH$
`=>GF` là đường trung bình của $∆AEH$
`=>GF` $\parallel EA$
Mà $AB\perp {EA}$ `=>GF` $\perp AB$
+) Xét $∆ABG$ có:
`\quad* AH` $\perp BG\ $ (vì $AH \perp BE$)
`\quad *GF` $\perp AB$
`\quad *F` là giao điểm của $GF;AH$
`=>F` là trực tâm $∆ABG$
`=>BF` $\perp AG\ (6)$
+) Xét $∆HEC$ có $G,A$ lần lượt là trung điểm của $EH;EC$
`=>AG` là đường trung bình của $∆HEC$
`=>AG` $\parallel CH\ (7)$
Từ $(6);(7)$ suy ra: $BF \perp CH$ (đpcm)
