Ta có: `u_{n+1}=10u_n+1-9n`
`u_1=11`
`u_2=10.u_1+1-9.1=10.11-8=102`
`u_3=10.u_2+1-9.2=10.102-17=1003`
Ta thấy rằng:
`u_1=11=10^1 +1`
`u_2=102=10^2+2`
`u_3=1003=10^3+3`
Giả sử: `u_n=10^n+n (1)`
Ta chứng minh `(1)` đúng `∀n∈N`*
*Với `n=1=>u_1=11` đúng
*Giả sử `(1)` đúng với `n=k≥1=>u_k=10^k+k`
*Ta c/m `(1)` đúng với `n=k+1`,
tức là cần c/m: `u_{k+1}=10^{k+1}+k+1`
Thật vậy, với `n=k+1` ta có:
`u_{k+1}=10u_k +1-9k` (công thức đề bài cho)
`<=>u_{k+1}=10.(10^k+k)+1-9k`
`<=>u_{k+1}=10^{k+1}+10k-9k+1`
`<=>u_{k+1}=10^{k+1}+k+1`
`=>(1)` đúng với `n=k+1`
`=>(1)` đúng `∀n∈N`*
Vậy công thức tổng quát của `u_n` là:
`u_n=10^n+n (n∈N`*)
