Phương pháp:
- Sau khi tìm ĐKXĐ ta nhẩm nghiệm được nghiệm là $x=-2$.
- Ta chuyển đổi phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp về dạng $(x-2).f(x)=0$.
- Sau đó giải $f(x)=0$ ta tìm được tất cả các nghiệm của phương trình.
Đáp án:
$x_{1}=2$; $x_{2}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$
Giải thích các bước giải:
$\dfrac{x^2+2x-8}{x^2-2x+3}=(x+1).(\sqrt{x+2}-2)$ $(*)$
$\text{ĐKXĐ: $x \geq -2$}$
$(*) ⇔ \dfrac{x^2-2x+4x-8}{x^2-2x+3}=\dfrac{(x+1).(\sqrt{x+2}-2).(\sqrt{x+2}+2)}{\sqrt{x+2}+2}$
$⇔ \dfrac{(x-2)(x+4)}{x^2-2x+3}=\dfrac{(x+1)(x-2)}{\sqrt{x+2}+2}$
$\text{Với $x=2$ thì phương trình luôn đúng.}$
$\text{Với $x \neq 2$ phương trình trở thành:}$
$\dfrac{x+4}{x^2-2x+3}=\dfrac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}$
$⇒ (x+4)(\sqrt{x+2}+2)=(x^2-2x+3)(x+1)$
$⇒ [(\sqrt{x+2})^2+2].(\sqrt{x+2}+2)=[(x-1)^2+2](x-1+2)$
$\text{Đồng nhất thức ta được: $\sqrt{x+2}=x-1$}$
$\begin{cases}x \geq 1\\x+2=x^2-2x+1\end{cases}$
$⇔ \begin{cases}x \geq 1\\x^2-3x-1=0\end{cases}$
$⇔ \begin{cases}x \geq 1\\4x^2-12x-4=0\end{cases}$
$⇔ \begin{cases}x \geq 1\\(2x-3)^2-13=0\end{cases}$
$⇔ \begin{cases}x \geq 1\\(2x-3-\sqrt{13})(2x-3+\sqrt{13})=0\end{cases}$
$⇒ x=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$
$\text{Vậy phương trình có 2 nghiệm: $x_{1}=2$; $x_{2}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$}$
