$x\to -\infty\Rightarrow \sqrt{x^2}=|x|=-x$
$\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{ \sqrt{x^2+2x+3}+4x+1}{ \sqrt{4x^2+1}+x-2}$
$=\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{ -\sqrt{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}} +4+\dfrac{1}{x} }{ -\sqrt{4+\dfrac{1}{x^2}}+1-\dfrac{2}{x} }$
$=\dfrac{-1+4}{-2+1}$
$=-3$