Ta có
$\underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^2} = \underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1 - (\sqrt[3]{1 + 3x} - 1)}{x^2}$
$=\underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{1 + 2x-1}{x^2(\sqrt{1 + 2x} + 1)} - \dfrac{1 + 3x-1}{x^2(\sqrt{(1 + 3x)^2} + \sqrt[3]{1 + 3x} + 1)}$
$= \underset{x \to 0}{\lim} \dfrac{2}{x(\sqrt{1 + 2x} + 1)} - \dfrac{3}{x(\sqrt{(1 + 3x)^2} + \sqrt[3]{1 + 3x} + 1)}$
Giới hạn này phải sử dụng Quy tắc L'Hospital mà các em chưa được học ở bậc phổ thông. Sẽ học ở phần Toán cao cấp.
Sử dụng quy tắc trên ta tính được giới hạn này bằng $\dfrac{1}{2}$.
